Derivatans definition

För x>0 så får du att f(x) = x+1

använder du nu derivatans definition ( f(x+h) -f(x) ) / h

så får du helt enkelt

(x+h+1 -x-1 )/ h = h/h=1

För x<0 så får du att f(x) = -x + 1

då får du med derivatans defintiion

(-x-h+1 +x-1 )/ h = -h/h=-1

Ja det har den!

Och linjen sträcker sig även över 1 ?

Eftersom den symbol vi använder här, √, inte har ett streck, måste man i stället markera hur mycket som skall omfattas av symbolen genom att använda parenteser: √(uttryck).

Så om linjen sträcker sig även över 1 skall du alltså skriva f(x) = √(x^2 + 1).

Utan parenteser är det svårt att veta om √ omfattar endast x^2 eller hela x^2 + 1.

Jag sa ju till dig förra gången att tänka på parenteser

f(x)=sqrt(x²+1) alltså.

Ett sätt att lösa detta är att använda kedjeregeln:

d/dx f(g(x))=f'(g)*g'(x)

I vårt fall:
f(g)=sqrt(g)
g(x)=x²+1
f'(g)=1/sqrt(g)
g'(x)=2x

f'(x)=2x/sqrt(x²+1)

Och med derivatans definition:
( f(x+h) - f(x) ) / h = ( √((x+h)²+1) - √(x²+1) ) / h
= ( ((x+h)²+1) - (x²+1) ) / (h ( √((x+h)²+1) + √(x²+1) ))
= ( 2xh + h² ) / (h ( √((x+h)²+1) + √(x²+1) ))
= ( 2x + h ) / ( √((x+h)²+1) + √(x²+1) )
→ ( 2x + 0 ) / ( √((x+0)²+1) + √(x²+1) )
= 2x / (2√(x²+1))
= x/√(x²+1)

Och så konstaterar vi att patwotrik gjorde fel. Han missade en faktor 1/2 i f'(g) som skall vara f'(g) = 1/(2sqrt(g)).

Är inte kedjeregeln när man har två funktioner beroende av samma variabel multiplicerade med varandra, alltså d/dx (f(x)g(x)) = f'g + g'f?

Nej, det är produktregeln.

Man kan dock se det som kedjeregeln för partiella derivator:
Med f(x) = g(x) h(x) = u(g(x), h(x)), där u(g, h) = g h, får vi enligt kedjeregeln för partiella derivator
df/dx = ∂u/∂g dg/dx + ∂u/∂h dh/dx = h g' + g h'

Det var så lite så.