Likformig kontinuerlighet av funktion på metriskt rum

Problem: Låt C(S) vara mängden av begränsade kontinuerliga funktioner på S (S delmängd av de reella talen). För ett specifikt s0 ∈ S definera F(f)=f(s0). Visa att F är en likformigt kontinuerlig reellvärd funktion på metriska rummet C(S). d(f,g) är definerad som d(f,g)=sup{|f(x)-g(x)|:x∈S}

Är lite osäker på om min lösning är rätt.
Lösning: Låt ε >0. Låt f,g ∈ C(S). Sätt δ = ε. d(f,g)=sup{|f(x)-g(x)|:x∈S}< δ = ε =>
d(F(f),F(g))=d(f(s0),g(s0))=sup{|f(s0)-g(s0)|:x∈S}=|f(s0)-g(s0)|<= sup{|f(x)-g(x)|:x∈S} < ε vilket visar att F är likformigt kontinuerlig på C(S) från epsilon-delta definitionen.

Tack!

Ser okej ut.