Diskret matematik, bevis eftersöks.

Jag kan knappt någon diskret matematik alls tyvärr, så jag vänder mig till er.

Låt [; A = a_1a_2a_3 \cdot ... \cdot a_n. ;]

Antag att alla a_i är primtal.

Antag [; a_i \neq 3 \ \forall \ i \in [1,n]. ;]

Antag a_k=2 för ett visst antal m olika k-värden. Om det är så att det finns m>0 udda antal såna k-värden så gäller:
[; A+4 \equiv 0 \pmod 3 ;].

Om det finns m>0 jämt antal såna k-värden så gäller:
[; A+2 \equiv 0 \pmod 3 ;].

Hur bevisar man det?

EDIT: Tack patwotrik. ^^

Du använder n för olika saker. Fixa.

Sen är ju
[; A+4 \equiv 0 \pmod 3 ;].
samma sak som
[; A+1 \equiv 0 \pmod 3 ;].

Hmm, det har du rätt i - jag tänkte mig det i form av multiplar av 2. Det känns ganska relevant av någon anledning, kanske nåt som klicka. Tack för påpekandet i vilket fall!

Nu ska vi se. Det är ju uppenbart att
[; A \equiv 0 \pmod 3 ;]
inte kan gälla alls.

EDIT:
Härifrån sket det sig. Det som står ovanför stämmer.

Och om #(a_k=2)=1 så kommer A att vara på formen 2*(2p+1)=4p+1 där p är ett heltal sådant att 4p+1 inte är delbart med tre. Dessa är 0,1,3,4,6,7,9,11,13,14...

Om p=0 så är 4p+1=1 kongruent med 1 modulo 3.
Om p=1 så är 4p+1=5 kongruent med 1 modulo 3.

Låt oss anta att 4p+1 är kongrument med 1 mod 3 för något p som är kongruent 0 mod 3. (0,3,6...)
4(p+1)+1=4p+5
4p+5 är kongruent 4p+2 mod 3



Gah. Tror det sket sig, men jag postar ändå, för det kan ju finnas något vettigt här.

Jag märkte ett fel här ovan och det är att 2*(2p+1) = 4p+2 snarare. Går det att visa då tro? Jag ser det inte direkt framför mig när det gäller att 4p+2 är kongruent med 0 mod 3.

Det hjälper inte tyvärr, och det är inte 4p+2 som ska vara det. A=4p+2 och det är A+1 som ska vara det.

Sant! Jag ska sova ett tag. Tack för hjälpen så länge.

men vänta

Om ett tal x är kongruent r mod m så är kx kongruent kr mod m.

Jag stuvar om lite så det blir lättare att tänka:

Om antalet tvåor är jämnt så är A kongruent 1 mod 3, och om antalet tvåor är udda så är A kongruent 2 mod 3.

Om du tar vilket A som helst som har ett udda antal tvåor och multiplicerar det med två så har vi 2A är kongruent med 4 mod 3, vilket är samma sak som att det är kongruent med 1 mod 3.

Om vi istället tar ett A som har ett jämnt antal tvåor och multiplicerar med två får vi 2A är kongruent med 2 mod 3.

Då vet vi att OM ett A är kongruent 1 mod tre och vi multiplicerar det med två så är resultatet kongruent 2 mod 3, och tvärtom. För varje gång du multiplicerar med två kommer den att pendla fram och tillbaka.

Då återstår att bevisa att det gäller när antalet tvåor är noll, och det är ganska lätt att inse att ett udda tal som inte är delbart med 3 är kongruent 2 mod 3.

Det är väl just
"Om antalet tvåor är jämnt så är A kongruent 1 mod 3, och om antalet tvåor är udda så är A kongruent 2 mod 3." som är svårt att visa?

Dessutom så är antalet 2:or större än 0.

Något är fel:

2*5 är kongruent med 1 mod 3 men 2*7 är kongruent med 2 mod 3.

Förhoppningsvis inte, då det inte är sant till exempel 7.

Kuken!

Aja, får fundera på det där.