matte d- primitiv funktion-

hej!

är det någon som kan förklara hur man kan hitta den primitiva funktionen till t.ex. f(x)=sin(^2)x
?

det jag gör är f(x)sin(^2)x= (sinx)^2
F(x)= (-cosx)^3/3 vilket är helt fel!!


skriv gärna steg för steg, vill verkligen förstå hur man kan lösa såna svåra uppgifter :S

Som du säger är inte -cos^3(x) / 3 en primitiv.
Det du måste göra är att trixa runt lite med trigonometriska identiteter. dvs lek runt med alla formler du har för sinus och cosinus tills du får ett uttryck som du kan hitta en primitiv till.
Tex är ju sin^2(x) = 1-cos^2(x)


och vidare vet du att cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = cos^2(x) - (1 -cos^2(x) ) = 2cos^2(x) -1

dvs cos^2(x) = ( cos(2x) +1 ) / 2

dvs

sin^2(x) = 1 - ( cos(2x) +1 ) / 2 = (1-cos(2x) ) / 2

och nu är det betydligt lättare att hitta en primitiv =)

Att integrera är svårt. Det är mycket svårare än derivering.

Låt S vara integrationstecknet.

f(x)=sin²x
sin²x=0.5+0.5cos 2x
S(0.5+0.5cos 2x)dx=
S 0.5dx + S 0.5cos 2x dx=
S 0.5dx + 0.5*S cos 2x dx=

Låt u=2x
du=2dx

S 0.5dx + 0.25*S cos u du=
x/2 - (sin u)/4 + C=
x/2 - (sin 2x)/4 + C


Eller om man tycker att det är snyggare:
0.5(x-(sin x)(cos(x))

Ett sätt är att utnyttja att cos(2x) = 1 - 2 sin²(x):
∫ sin²(x) dx = ∫ (1 - cos(2x))/2 dx = x/2 - sin(2x)/4



Ett annat är att integrera partiellt:
∫ sin²(x) dx = ∫ sin(x) sin(x) dx = sin(x) (-cos(x)) - ∫ cos(x) (-cos(x)) dx
= -sin(x) cos(x) + ∫ cos²(x) dx = -sin(x) cos(x) + ∫ (1 - sin²(x)) dx
= -sin(x) cos(x) + x - ∫ sin²(x) dx

Alltså,
2 ∫ sin²(x) dx = ∫ sin²(x) dx + ∫ sin²(x) dx = ( -sin(x) cos(x) + x - ∫ sin²(x) dx ) + ∫ sin²(x) dx
= -sin(x) cos(x) + x
dvs
∫ sin²(x) dx = x/2 - sin(x) cos(x)/2 = x/2 - sin(2x)/4

Varsågod!

Det var så lite så!

tack så hemskt mycket alla!!! <3


det tog mig lite tid att titta på alla svar!
Tack!

tusen tack!

Ingen orsak

en fråga bara, hur fick du 0,5 ?

Dubbla vinkeln.
cos (2x) = 1-2sin²x

tack!


jag hittade denna denna oxå http://www.youtube.com/watch?v=s5UFliid97g

Lugnt.

Kolla gärna formlerna här:
http://sv.wikipedia.org/wiki/Lista_%...ka_identiteter