Krökt rum?

Det är inte ett problem att tiden används både som koordinat och förändringsparameter, det är snarare en bra sak. Och att jag får transformera min förändringsparameter när jag byter referenssystem är inte heller en dålig sak. Och att tiden behandlas annorlunda från rumskoordinaterna är också bra, eftersom det är uppenbart att det finns en skillnad mellan tid och rum, som sagts många gånger innan i tråden. Du har uppfunnit ett problem, där inget problem finns, och sen trasslar du till saker en massa för att lösa "problemet".
Tja, imaginär tid är som sagt ett sätt att ge tiden en särställningen, men det är inte egentligen så elegant. Enklare är bara att låta metriken ha en annan signatur än den euklidiska. Och att tidskoordinaten delvis kan blandas med rumsprojektioner är inte alls ett problem: att vi har en maximal hastighet leder till en maximal blandning, och allt funkar fint utan att behöva skilja på tiden som koordinat och tiden som förändringsparameter. Du krånglar bara till det i onödan, som sagt.

Vi har alla gjort oss någon bild av den värld vi lever i. Jag tror att det kunde vara intressant att utbyta lite erfarenheter av att använda dessa bilder. Därför berättar jag lite om min bild. Den som så vill kan ju ibland tänka tanken: "Är detta en förändringsparameter eller en koordinat?". Kanske kan någon se någon ny möjlighet. Bra eller dåligt? Tja det kan man ju inte säga i förväg.

Jag håller med dig om att man bör ta reda på hur den gängse världsbilden ser ut, om inte annat så för att kunna ifrågasätta den. Och det kan också vara bra att känna till en del matematik. En vacker dag kanske man behöver Christoffel¨s symboler eller Laplacetransformen och då kan det vara bra att veta att de finns genomtänkta och färdiga att använda.

Naturligtvis kan man, som med Lorentztransformen, vrida x-axeln mot t-axeln så att de möts vid 45 grader bara man vet vad man gör och vet vad man skall ha resultatet till. Jag försöker bara påpeka att det är inte det enda möjliga synsättet.

Man brukar säga att hunden viftar på svansen. Men man kan naturligtvis påstå att svansen viftar på hunden. Båda beskrivningarna är lika korrekta men har den andra några fördelar?

På samma sätt kan vi naturligtvis kröka våra koordinataxlar så att alla ljusstrålar blir raka. Gör vi det på rätt sätt blir den bilden helt korrekt men har den några fördelar?

Om en stjärna exploderar sänder den ut ljus som bär en bild av händelsen. För hundra år sedan insåg man att denna bild var det enda vi fick veta om händelsen. När bilden nådde oss kunde vi se det som att det var den som var händelsen. Om vi använder samma enhet för tid och rum, alltså sätter c = 1 gäller att avståndet till bilden är x - t om bilden färdas längs en rät linje (x är rumsavståndet till händelsen och t är tiden från händelsen). Om bilden i stället färdas längs en cirkelbåge blir avståndet till bilden roten ur (x2-t2). Innan bilden når oss kan vi inte veta något alls om den. Vi kan alltså inte veta vilken väg den tar och kan därför anse att roten ur (x2-t2) är avståndet till bilden. Och bilden är det enda vi vet om händelsen så vi kan ersätta händelsen med bilden av händelsen och påstå att roten ur (x2-t2) är avståndet till händelsen.

Hur vore det om vi kallade krokiga ljusstrålar för "krokiga ljusstrålar", roten ur (x2+t2) för "avståndet till händelsen" och roten ur (x2-t2) för "avståndet till händelsens bild"?

När så småningom ett rymdskepp landar på Mars kommer den bild vi ser i våra teleskop inte att vara vår enda bild av landningen. Besättningen kan berätta hur landningen såg ut på nära håll och vi måste hålla reda på hur vi kan skicka
styrsignaler till skeppet. Det ställer större krav på vår förmåga att hantera avlägsna händelser. Bilden av händelsen blir inte längre det enda vi vet om händelsen.

Har läst ganska många sidor i tråden och konstaterar att du har fått många bra svar av många kunniga skribenter, där många tyvärr inte verkar vara aktiva längre.

Vill bara trycka på en sak. Ta en krökt YTA, dvs 2D, t ex ytan på en boll. Krökningen på den har inte att göra med något speciellt val av koordinater. Den ÄR krökt, vare sig man använder polära koordinater eller något annat. Denna krökning märks t ex i förhållandet mellan en cirkels radie och dess omkrets, om den mäts med t ex linjaler.

Konkret exempel. Dra en cirkel runt nordpolen med 1000 mils radie längs ytan. Cirkeln hamnar då på ekvatorn som är 4000 mil lång. Dvs kvoten mellan omkrets och radie blir 4 istället för 2pi=6.28... som gäller för en plan yta. Alltså är jordytan krökt. Notera att detta gäller faktiska fysikaliska sträckor (längs ytan), så valet av koordinater är irrelevant!

När man säger att ett 3D eller 4D rum är krökt menar man precis samma sorts sak. Man kan t ex definiera trianglar som de kortaste linjerna i respektive rum mellan tre olika punkter. OM rummen inte är krökta så fungerar Euklidisk geometri, som t ex att vinkelsumman blir 180°, och att OM även en vinkel är 90° så fungerar Pythagoras sats. Men om rummet är krökt så funkar det INTE på detta sätt..

Ta jordytan igen som exempel, nu med en triangel med en punkt på nordpolen och två punkter på ekvatorn, och de kortaste linjerna mellan dessa punkter längs ytan. Båda vinklarna vid ekvatorn blir 90°, och vinkeln vid nordpolen blir allt mellan 0° och 180°. T ex kan även vinkeln vid nordpolen bli 90°, och vi har då en rätvinklig triangel där alla sidor är 1000 mil, vilket ju inte funkar med Pythagoras sats. Och det är ju inte konstigt alls eftersom jordytan är krökt, medan Pythagoras sats bara funkar på plana ytor. Dessutom är triangelns vinkelsumma 270° och inte 180° som gäller på plana ytor. Det är alltså 90° för mycket jämfört med det plana fallet. Man kan visa att detta överskott är proportionellt mot triangelns yta (om ytans krökning är konstant). Detta gäller även för negativ krökning, men då blir vinkelsumman mindre än 180°.

Detta fungerar på precis samma sätt för trianglar i krökta rum med högre dimension. Så om t ex 3D-rummet i vårt universum är positivt krökt så gäller allt det ovanstående om trianglar där. På just detta sätt har man faktiskt MÄTT att universum är plant, vilket enligt relativitetsteorin betyder att medeldensiteten måste ha ett visst kritiskt värde i förhållande till Hubbles konstant (som är ett mått på hur snabbt universum expanderar f n).

Notera dock att den 4D-rumtiden ändå är krökt trots att 3D rummet är plant. Hur? Mer om det nedan.

En skillnad finns dock i högre dimensioner jmf m två, och det är att det i det allmänna fallet spelar roll hur en yta är orienterad. Dvs i t ex en krökt 3D rymd blir avvikelserna för t ex trianglars vinkelsumma olika stor beroende på om triangelns yta är orienterad i xy-planet eller i xz-planet, etc (där x, y och z kan vara vilka kurvlinjiga koordinater som helst). Men all denna information finns då i den s k krökningstensorn.

Detta förklarar hur 4D rumtiden kan vara krökt trots att 3D rummet är plant. Det är alltså så att planen xy, xz och yz är euklidiska, medan ytor som definieras med en t-riktning och en rumsriktning INTE är plana. Och då är inte dessa komponenter i krökningstensorn noll.

Matematiken om sånt här kallas för differentialgeometri. Och det är med sådan som den allmänna relativitetsteorin är formulerad.

Det är bra! Kanske kan vi komma fram till något.

Antag att vi svävar i varsin ballong och runt omkring oss finns andra ballonger som också svävar i luften. Det blåser in mot ett lågtryck där vinden övergår i en uppvind. Vi kan alla mäta ljudhastighet på liknande sätt som Michelson-Morley mätte ljushastighet och konstatera att vi alla ligger stilla i förhållande till luften i mätanordningen. När vinden viker av uppåt kan vi lägga in våra färdriktningar och konstatera att vi färdas i en yta som är krökt i höjdled. Vi kan genomföra alla de mätningar du nämner och konstatera att vi följer en krökt färdyta. Men en observatör som står på marken säger"De färdas inte alls på någon krökt yta. Det är bara vinden som ändrar riktning och ballongerna följer med vinden.".

Som jag ser det är båda synsätten lika användbara. Hur kan man avgöra vem som har rätt?

Jag ställde frågan "Hur kan man avgöra vem som har rätt?". Ingen har svarat så jag försöker själv kommentera den.

I en ballongkorg blåser det aldrig. Ballongfararna skulle kunna tro att det inte finns någon vind och av det dra slutsatsen att det inte finns någon luft. Lite konstigt är det förstås eftersom de kan ropa till varandra och något bär ljudet mellan dem men de säger ändå "Vi har rätt eftersom det varken finns vind eller luft.".

Michelson-Morley visade att man har ingen fartvind när Jorden plöjer fram genom en stillastående eter på samma sätt som ett tåg tränger fram genom stillastående luft. Det kan tolkas på två sätt. Antingen finns det ingen eter eller också ligger Jorden stilla i förhållande till etern på samma sätt som en ballong ligger stilla i den luft den svävar i.

Fizeau visade att om utbredningsmediet i mätanordningen rör sig i förhållande till mätanordningen påverkas ljushastigheten. Det finns alltså en eter som ljuset färdas i. Men det var något konstigt med Fizeaus resultat. Påverkan var beroende av mediets brytningsindex. I "Min världsbild" under rubriken "Världen" på min hemsida har jag visat att Etervindbilden ger ett resultat som överensstämmer med Fizeaus resultat.

Och därmed är vi tillbaka vid att båda synsätten är användbara.