Behöver hjälp med sin(2x) ekvation

Bengtzz jag är helt med på hur du menar och det stämmer ju hyfsat, men när du säger att du får 4 ny lösningar, du får väl först bara två nya lösningar i just den punkten där kx tangerar sin(2x). För punkten där den skärn nästa våg. är väl olika ju längre bort från y axeln du kommer du kommer, det blir ju inte lika konsekvent som att räkna att den träffar vid varje extremepunkt. Nej den e ganska svår för en matte d elev speciellt när du läste D kursen senast 11 år sen :P

Tänk på den negativa delen av x-axeln också. Den skär ju sinus där borta med. Därför blir det 4 lösningar.

Fast om du studerar definitionsmängden av n ser du ju värdemängden av k.

http://www.wolframalpha.com/input/?i...C+y%3D-1..1%29

För övrigt kan jag säga att en exakt lösning är omöjlig att erha. Och det går att bevisa.

För att det är en ekvation av typen
e^x = x

korrekt, fast i uppgiften står det att k \in R vilket bara har en lösning om k \nin (-1,1), x = 0. Såg fel på k = 0 dock, en mycket snygg lösning !

Jag gör om lösningen lite, WA verkar fungera bra nu.

Pedagogiskt tydlig lösning:
Jag tänker mig annars att vi får exakt fyra nya lösningar för varje gång den räta linjen kx tangerar en maximipunkt på den positiva x-axeln. Det blir två nya lösningar där vi tittar på tangeringen, men det blir två till på den negativa x-axeln.

För att visa en bild:
http://i46.tinypic.com/33ma3o6.png

Maximipunkten för positiva x finner vi där derivatan är noll och där andraderivatan är negativ. Varje gång detta händer bör vi alltså få fyra fler lösningar.

Men samtidigt behöver vi inte oroa oss för minimipunkterna. Vi kan tänka bort varannan extrempunkt så att säga.

f(x) = sin(2x)
f'(x) = 2cos(2x)

Vi vill veta när derivatan är 0, för där finner vi våra extrempunkter:

2cos(2x) = 0
cos(2x) = 0
arccos(cos(2x)) = arccos(0)
2x = π/2+2πn
x = π/4+πn

Notera att vi enbart studerar positiva x och att n är godtyckligt heltal. Här har vi faktiskt alla maximipunkter. Men vi sket ju lite i varannan extrempunkt för det är en minimipunkt, därför skrev jag inte "plusminus" framför pi/4. Tittar vi på bilden skiter vi liksom i minimi.

Alla maximipunkter för sin(2x) har vi här:

x = π/4+πn = (π/4)(1+4n)

Alla maximipunkter på sin(2x) är alltså punkterna:

(x, y) = ((π/4)(1+4n), sin((π/2)(1+4n)))

n = 0,1,2,...

För när n = 0 har vi tre lösningar.

Vi har ju vår räta linje, g(x) = kx, alla punkter på den linjen är (x, kx). När k har blivit tillräckligt litet så att y-värdena av båda våra grafer sammanfaller, ja då får vi fyra lösningar till.

Alltså när detta gäller:

sin((π/2)(1+4n)) = k(π/4)(1+4n) ⇔
(4/(π+4πn))·sin((π/2)(1+4n)) = k

För varje n = 0,1,2,...

Detta är helt enkelt när de båda y-värdena är lika. Då vet vi att vi garanterat har fått exakt 4 lösningar till. Vi får inte fler eller färre lösningar. Dock får vi en lösning aningen lite grand innan vi når just detta x-värde som patwotrik också säger. Däremot är det omöjligt att finna ett analytiskt uttryck med elementära funktioner för dessa punkter specifikt. Vad vi dock vet som sagt är att vi här garanterat får 4 och endast 4 till lösningar om min förmodan nu stämmer. Vilket jag tror att den gör! Det går säkert att bevisa men det gör vi inte nu.

Varje steg i n genererar alltså fyra till lösningar. När n = 0 har vi alltså 3 lösningar. när n = 1 har vi 7 lösningar osv.

Vi har då en funktion av antalet lösningar som lyder

A(n) = 3+4n

För n = 0,1,2,...

Vi studerar då ekvationen i fråga:

sin(2x) = kx

Sedan innan hade vi ju tagit reda på vad k-värdet är uttryckt i termer av n. Vi använder detta.

sin(2x) = (4/(π+4πn))·sin((π/2)(1+4n))x
sin(2x) = 4x·sin((π/2)(1+4n))/(π+4πn)

Eftersom vi vet att k = (4/(π+4πn))·sin((π/2)(1+4n)) samt en del omskrivningar så uttrycket är lättare.

Funktionen som anger antalet lösningar är:

A(n) = 3+4n

Välj godtyckligt n, tänk på att n = 0,1,2,... Och nu kommer vi att få alla lösningar till:

sin(2x) = 4x·sin((π/2)(1+4n))/(π+4πn)

Och det var ju denna ekvation vi studerade.

Svar:
Antalet rötter till ekvationen

sin(2x) = 4x·sin((π/2)(1+4n))/(π+4πn)

Är exakt A(n) många

A(n) = 3+4n

för alla n = 0,1,2,...

Så ja n = 0 gäller också som lösning. Då är k ungefär lika med 1.27 och det ger tre lösningar.

http://www.wolframalpha.com/input/?i...x%29+%3D+1.27x

Formell lösning:
Jag skall göra en så fullgod formell lösning som möjligt. Ge gärna så mycket kritik ni kan. Det är alltid svårt att uttrycka sig exakt.

Problem:
Hur beror antalet rötter av ekvationen sin(2x)=kx på värdet av k? Kan vi finna ett explicit uttryck som på ett exakt sätt beskriver antalet rötter vid specifika punkter?

Förmodan:
När linjen kx skär maximipunkt n+1 på grafen till sin(2x) erhålls fyra mer rötter än vad samma ekvation gav då kx skär sin(2x) i maximipunkten n.

Randvillkor: Maximipunkt 0 genererar 3 lösningar och den ges när x = π/4.

Slutsats: Det är då en linjär funktion som beskriver antalet lösningar. Denna funktion kan vi kalla A. Med hjälp av förmodan och randvillkor vet vi att A(n)+4 = A(n+1), A(0) = 3. Explicit uttryck för A(n) = 3+4n.

Studium av maximipunkter för sin(2x):
Noterbart är att vi är endast intresserade av positiva x och maximipunkter.

d/dx sin(2x) = 2cos(2x) = 0 ⇔ x = π/4+πn = (π/4)(1+4n)

Där n∈ℕ

Skärningspunkter ges när y-värden är lika:

sin(2·(π/4)(1+4n)) = k(π/4)(1+4n) ⇔
k = 4sin((π/2)(1+4n))/(π+4πn)

Svar:
Ekvationen sin(2x) = kx har 3+4n lösningar då k = 4sin((π/2)(1+4n))/(π+4πn) för alla n∈ℕ.

Som vi redan har sagt kommer k ligga i intervallet (-1,1) men i uppgiften skall man hitta lösningar för alla k.
För |k|>1 kommer det endast finnas en lösning, för att lösningen skall bli komplett ty då har vi lösningar för alla k.

Jag hoppas att jag är tydlig med vad jag menar.

https://www.flashback.org/sp40351703
Nej

http://www.wolframalpha.com/input/?i...x%29+%3D+1.27x

sry, jag menade självklart när |k| > 2

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%282x%29+%3D+2x
endast en lösning i nollan.

Lösningen på antalet rötter gäller väl inte för negativt k över huvudtaget?
k=-1 ger bara en rot och k -0,8 ger bara en rot, kx träffar den första max punkten på den negativa sidan av x axeln på ungefär k=-0,42