Rotationssymmetrisk kropp med tröghetsmomentet I och massan 0?

Men snälla skärp dig. Hade du läst vad jag hade skrivit hade du tydligt sett att jag menade att du har rätt angående enheterna här och inte att jag bara sket i dessa. Möt mina argument istället och sluta bete dig som en bebis.

Jag har inte ignorerat det.

Ja självklart, det är ju ett krav.

Hur skulle jag kunna veta detta? Då får du ju berätta hur det ligger till, inte bara slänga ut ett begrepp och säga ditten och datten.

Din metod här är redan förkastad sedan länge. Theta löste det alldeles utmärkt. Du kan fetmarkera hur mycket du vill om och om igen och säga vad du säger. Theta menade att fysiker inte är så noga och skriver istället som du gör, utan att skriva med en koefficient som m0. Du kanske ser själva enheten kg som koefficienten som är = 1*kg direkt av. Så såg inte jag det, men Theta förklarade ju för mig hur du tänkte där i alla fall.

Du får upprepa dig hur mycket du vill, det är inte mitt problem att du säger samma sak om och om igen.

Jag menar här egentligen bara att vi får problem om vi inte väljer våra randvillkor rätt. Och det är ju just det jag diskuterar.

Ja. Varför ställer du denna fråga? Du vill uppenbarligen provocera och kasta skit. Tämligen dåliga argument.

Matematiskt blir det inga problem. Men randvillkoret att r och m skall vara just reella positiva tal blir skumt i och med detta.

Jag har försökt att förstå den flera gånger om och om igen men den verkar svår. Jag tror jag ändå trots allt har en mycket bra bild av gränsvärden även om min explicita definition inte är jättetydlig. Jag tycker det är oerhört svårt att förstå epsilon-delta. Det känns i alla fall som om jag missar något. Är i regel dålig på att förstå olikheter.

Yes håller med dig.

Som vi sagt så gäller ju I för alla x. Men vi har också sagt att r,m>0 och är reella. När m → 0 ser man tydligt att r inte längre är ett reellt tal när vi går i gräns.

Å andra sidan togs det ju upp ett bra argument med potentialen oändligt långt bort etc etc. Här ser jag dock inte ett randvillkor som begränsar oss, däremot ser jag det med att längder bör vara reella eftersom vi talar om en de facto längd och inte en punkt i teorin oändligt långt bort (sådana finns ju, men det finns inte ett objekt som är oändligt långt).

Men jag tycker fortfarande det är problematiskt när vi säger såhär. Låt oss titta på definitionen av r(u), m(u) och I(u).

r(u) = r(1)/u
m(u) = m(1)·u²
I(u) = r²(u)·m(u)

Där m(1) och r(1) = 1
Där m(u) och r(u) är större än 0 och tillhör ℝ.
Där u∈ℂ (vi kan nog tillåta imaginära tal här också kanske, ville iaf göra den så stor som möjligt) Om inte annat så sätter vi ℝ bara.

Innan vi går i gräns ser vi att:

I ≡ 1, om och endast om u≠0.

Vi kan häva singulariteten i u = 0 genom gränsvärdet:

lim [u→0] I(u) = 1

Vi löser detta genom att säga att I(0) = 1 i och med gränsvärdet. Problemet är att det strider mot värdemängden av r. Om vi definierar I(0) = 1 så gäller att r(0) = ∞, men eftersom V_r = ℝ får vi motsägelse.

Jag tycker det är absolut rimligt att ha dessa randvillkor och det tror jag ni tycker också.

Jag tyckte i alla fall att Theta löste det på ett bra sätt genom att sätta r₀ och m₀ som koefficienter.

Hmm. Ingen aning alls, en foton har ju tydligen rörelsemängd i alla fall men jag kan inte så mycket fysik för att egentligen kunna säga mer. Fysikutbildningen jag har fått på lärarprogrammet är tämligen klen jämfört med samma jag fick i matematik.

Angående tröghetsmoment så var det i matematiken vi pysslade med detta. Flervariabelanalys, askul.

Häva singulariteten behöver vi bara göra ifall funktionen ska bli kontinuerlig, men funktionen ska inte ens vara definierad för 0 och negativa tal så det är helt onödigt. Gränsvärdet existerar oavsett om singulariteten är hävd eller. Det är ju t.o.m. gränsvärdet vi måste använda oss av för att kunna definiera om funktionen så att singulariteten hävs. Utan gränsvärdet skulle vi inte kunna häva singulariteten. Alltså existerar gränsvärdet [x --> 0] I = 1 oavsett.

Jag försökte kolla snabbt efter information på internet om ideala dipoler men måste snart springa. Försök gärna att kolla upp själv BengtZz om du har tid, eller försök fundera på innebörden av en ideal dipol och hur det relaterar till den här tråden utifrån min väldigt korta definition på sida ett eller wikipedias. För argumentet att fysiker använder ideala dipoler har funnits sen sida 1 och du har ännu inte bemött det.

Japp!


Alltså, förstår inte riktigt själva problemet, om vi säger att en massa beror på en variabel, tex.

m=f(x), så betyder det ju att funktionen, f, har enheten massa. Variabeln x kan ha precis vilken enhet som helst. Exempelvis skulle x kunna vara tid, och vi har en tidsberoende massa.

Vi kan alltså definiera:

m = f(x) = x [kg]
r = g(x) = 1/x [m]

låt:

I(m,r) = m*r^2 = f(x)*g^2(x) = x*(1/x^2) = 1/x, låt nu x gå mot noll+ och vi får oändligt rörelsemängdsmoment för en oändligt liten massa.

Alternativt:

m = g(x) = 1/x
r^2 = f(x) och vi får:

I = g(x)*f(x) = (1/x)*x = 1, låt x mot noll och vi får I = 1.

Vilket i princip säger att för varje givet m>0 så finns ett r sådant att tröghetsmomentet blir exakt 1 [kgm^2)


Vidare kan vi:

m = f(x)^2
r^2 = g(x) och vi får:

I = f(x)^2 * g(x) = x^2/x = x, låt x mot noll och I = 0.


Vi får således olika gränsvärden för I, beroende på hur massan & sträckan går mot noll respektive oändlighet, vilket är väntat.

Vi kan ju också roa oss med att säga att:

m = sin(x)
r^2 = cotan(x)

och I = sin(x)*cotan(x) = sin(x) * (cos(x)/sin(x)) = cos(x), låt nu x->0 och vi får: I = 1.


Att det finns massor som varierar med sin(t) är enkelt att inse, ta tex. en (lätt) blåsbälg, som fylls respektive töms med luft.

Sträckor som varierar med trigonometriska funktioner behöver inte närmare förklaring.


För att tydligare åskådliggöra felaktigheten i ditt resonemang så låter jag dig lösa följande problem:

Antag att vi har en homogen kropp med massa m fastsatt i ett (lätt) snöre med längden L0. Vidare har vi en rotationsaxel, där snöret är fastsatt och upprullat på denna. Mängden upprullat snöre är Lu (alltså snörets totallängd är Ltot = L0+Lu). Låt oss anta att vi har snöret utsträckt till L0 och vi frågar oss:

Vad är rörelsemängdsmomentet kring rotationsaxeln från denna kropp?

Låt oss nu anta att vi sätter snurr på axeln, varpå linan börjar löpa ut, avståndet från axeln ökar alltså med tiden. Låt oss anta att denna ökning kan skrivas:

L(t) = Ltot - Lu(t) och Lu(t) = Lu0 - 0,5*t, där t är tiden i sekunder. (Lu skulle då enligt dig ha enheten sekunder?)

Vidare antar vi att föremålet i fråga är väldigt känsligt för vindhastigheter (den kanske är gjord av sån maskrosknopp) så lite massa blåser iväg hela tiden, föremålets massa (som också är tidsberoende) kan skrivas:

m = m0 + dm(t), där dm(t) = -0,01*t, där t är tiden i sekunder. (vilken enhet har denna?)


Då frågar vi oss:

Vad är rörelsemändsmomentets tidsberoende?

Yes håller med dig. Problemet är då att detta leder till att vi bryter mot värdemängden av r(u).

Argumentet att jag har sagt "Nej" från första början har också funnits där. Det betyder ju dock inte att du måste bemöta varje argument som tas upp. Du hade ju kunnat förklara vad det innebär om du nu ändå skall dra en analogi. Annars är det ju lika dåligt argument som att jag bara säger "Nej".

Men jag skall kolla upp det och försöka förstå det så bra som möjligt. Jag lovar!

Jag vill att du är extremt tydlig när du läser vad jag skriver här. Jag är väldigt väldigt säker på att jag har rätt angående min enhetsanalys och försök att förstå vad jag menar och anta att jag har rätt så kommer du finna logik i att "Jaha det är så han menar, självklart måste det vara rätt". Däremot menar jag inte att ni har fel från början men att vi såg på objektet från olika sätt. Jag skall dock presentera de problem jag såg och varför vi behöver formalisera det än mer för att inte stöta på de problem och motsägelser jag ser. För motsägelser vill vi ju inte ha.

Inför en ny funktion. Kalla funktionen enhetsfunktionen för enh(x). Värdemängden för enh(x) är alla enheter som finns. Definitionsmängden är alla variabler som har blivit tilldelade en enhet. Om vi har en variabel (kalla den y) som är enhetslös (notera enhetslös inte dimensionslös) kan vi definiera ehn(y) = 1.

Ytterligare vet vi att

enh(x·y) = enh(x)·enh(y)

Den är alltså multiplikativ.

Vi tittar då på det jag ser som problemet men som jag förvisso tyckte Theta har löst så jag tycker inte att vi behöver argumentera för detta mer. Jag har redan accepterat detta och gått vidare. Men jag kan argumentera lite om det ändå.
Vi säger att vi har en funktion som vi kallar m = f(x) = x.

Då vet vi att:

enh(m) = enh(f(x)) = enh(x)

Theta gick ju runt detta genom att säga att det finns en koefficient m₀ som har beloppet 1 och enheten kg.

Vi kan ju annars hela tiden skriva:

m·kg = f(x)·kg = x·kg ⇔
enh(m·kg) = enh(f(x)·kg) = enh(x·kg ) ⇔
enh(m)·enh(kg) = enh(f(x))·enh(kg) = enh(x)·enh(kg) ⇔
enh(x) = 1

Och jag tror det är detta ni syftar på när nu säger "det finns inga problem, ser inget problem". Jag tycker dock man bör vara mer formell och skriva ut skiten. Enheterna är ju alltid multiplicerade med mätetalen. Dock när man plottar grafer, t.ex. tid mot hastighet brukar man på koordinataxlarna skriva

på y-axeln:

v/(m/s)

på x-axeln:

t/s

För att markera att vi dividerar bort enheten och enbart plottar mätetalen. Det är väldigt viktigt att vi gör såhär, för det skulle kunna vara så att v(t) = sin(t). sinus accepterar bara dimensionslösa argument och då måste alltså vår plot bara använda sig av mätetal. Annars kan vi inte förklara enheten på sin(t).

T.ex. vad är enheten på:

2^(x·kg)?

Alla exponentialfunktioner har därför dimensionslösa argument. Jätteviktigt

Här inför du nya argument till diskussionen, jag skall försöka falsifiera dessa genom min enhetsfunktion.
Vi vet per definition att:

enh(I(m,r)) = kg·m²

Då måste:

enh(I(r,m)) = enh(1/x) = kg·m² = enh(1)/enh(x) ⇔ enh(x) = kg⁻¹·m⁻²

Men vi får motsägelse eftersom enh(m) = kg = enh(x)

Theta löste det dock på ett smart sätt genom att explicit skriva ut koefficienter som har beloppet 1 och står som enheter multiplicerade med dess mätetal.

Jag tror att jag har en annan syn på mätetal och enheter än vad du och entropi har. Däremot vet jag att vi egentligen menar samma sak och vi kan släppa detta nu. Det gick ju att lösa, jag är inte intresserad av argumentet längre men jag menar fortfarande att du och entropi har en sämre formalitet än den jag har, även om vi båda menar samma.

Jag skall nu förklara hur vi istället borde ha skrivit det, för att enhetsfunktionen inte skall skapa motsägelser. Jag gör inget exempel för detta exempel utan tar exemplet nedan istället, så läs det jag skriver nedan noggrant och följ logiken. Läs igenom det flera gånger gärna. Läs också gärna igenom Rayleighs metod om du har lust, men det är egentligen en bigrej.

http://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh's_method_of_dimensional_analysis

Du får fel i din enhetsanalys. Se hur jag använder min enhetsfunktion.

Men jag skulle kunna titta på vad du menar mer strikt och följer den formaliteten som jag kräver. För att vi skall kunna förklara enhetsfunktionen (som jag vet jag har rätt på). Vi kan dock komma förbi problemet som jag såg genom att göra som Theta sa. Dock illustrerar jag andra problem som ni inte ser eftersom jag anser då att ni gör fel.

Vi kan se att:

m(x) = m(1)/x ⇔ m(1) = 1

Vi vet per definition att

enh(m(x)) = kg

Då måste det gälla att

enh(m(1)/x) = kg ⇔ enh(x) = 1

x är alltså helt enhetslös och är bara ett mätetal! Perfekt och enheterna, alltså dimensionsanalysen stämmer skitbra och x är nu alltså enhetslöst vilket är precis det vi ville ha.

Vi studerar då r:

r²(x) = r(1)·x ⇔
enh(r²(x)) = m = enh(r(1)·x) = enh(r(1))·enh(x) ⇔ enh(x) = 1

Mycket behändigt och vi får rätt enhet även om x är enhetslös. Slutligen kommer det per automatik att bli rätt enhet på I(x) också! Ytterligare vet vi att Värdemängden(r²(x)) = ℝ.


Definitionen av I:
I(x) := g(x)f(x) ≡ 1
Vi vet alltså att I är identiskt lika med 1 för alla x, x≠0.

Men vi ville ju studera hur det ser ut när m → 0.

Definitionen av m:

m(x) = m(1)/x

Att låta m gå mot 0 är ekvivalent med att låta x → ∞.

Definitionen av r:

r²(x) = r(1)·x

Om vi låter m → 0 får vi mycket riktigt att vi kan säga att I ≡ 1. Men då får vi problemet att

r²(0) = ∞

Och det strider mot värdemängden av r². En motsägelse.

För att göra dina notationer enklare för mig skriver jag istället:

m(x) = m(1)·x²
r²(x) = r²(1)/x

Alla enheter är nu rätt och vi har inga problem. x är ett enhetslöst mätetal som varierar. Jag skall nu bevisa att enheten är rätt för I(x) även den, vilket är ett krav.

Detta leder till att:

I(x) = m(x)·r²(x) = m(1)·x²·r²(1)/x = m(1)·r²(1)·x

Vi vet per definition att:

enh(I(x)) = kg·m²

Vi uppfyller detta genom att:

enh(m(1)·r²(1)·x) = kg·m² ⇔
enh(m(1))·enh(r²(1))·enh(x) = kg·m² ⇔
enh(m(1))·enh(r²(1)) = kg·m² ⇔
kg·enh(r²(1)) = kg·m² ⇔
kg·m² = kg·m²

Enheterna stämmer, mycket bra.

Vi visste ju sedan innan att:

I(x) = m(1)·r²(1)·x

Vi vet också att m(1) = 1 = r²(1)

Vi kan då säga att, icke formellt:

I(x) = x

Men egentligen har vi som sagt våra enheter multiplicerade där med x.

Vad var trådens fråga? Jo kan I(x) vara nollskilt om massan går mot 0?

Vi studerar följande:

m(x) → 0 ⇔ m(1)·x² → 0

Eftersom m(1) är konstant måste alltså x gå mot 0, för att m skall gå mot 0.

Vi ser dock att:

I(x) = 0, när m → 0

Alltså, som även du säger får vi olika gränsvärden för I, beroende på hur det går mot 0. Vilket som du säger, är väntat. Denna definition av r och m ger oss dock inte ett nollskiljt I när massan går mot 0.

Vi kan ju också roa oss med att säga att:

Som du säkert vet är sin(x) dimensionslös, eftersom defintionen är en kvot av två länger. Vi får då motsägelser om vi inte ytterligare multiplicerar fram enheten som jag har visat med min enhetsfunktion flera gånger. Låt mig formalisera det du skriver.

Vi definierar:

m(x) = m(π/2)·sin(x)
r²(x) = r²(π/4)·cotan(x)

Eftersom per defintion både sin och cotan är dimensionslösa och därmed även enhetslösa.

Vi studerar nu tröghetsmomentet:

I(x) = m(π/2)·sin(x)·r²(π/4)·cotan(x) ⇔
I(x) = m(π/2)·r²(π/4)·cos(x)

Är tröghetsmomentet nollskiljt när m(x) gåt mot 0?

Vi vet att:

sin(x) = x, när x→0

Vet inte om likheter eller ekvivalenspil skall sättas ut här. I vilket fall går nog principen igenom.

m(x) → 0 = m(π/2)·sin(x) → 0 = sin(x) → 0 = x → 0

Att låta m(x) gå mot noll är alltså ekvivalent med att låta x gå mot 0.

Studera gränsvärdet:

lim [x→0] m(π/2)·r²(π/4)·cos(x) = 0

För dessa definitioner av r och m ser vi att I är 0 när massan går mot 0.

Jag fick inte plats med svaret i ett enda inlägg. Svaret var över 10000 tecken

Fortsättning kommer alltså nedan.

Jag är inte tveksam på verklighetsresonemanget här. Fortfarande så är t här ett mätetal, eftersom sinus bara accepterar dimensionslösa argument. sin(t) är också per definition dimensionslöst i och med definitionen av kvot av längden av två vektorer.

Om vi skall säga:

m(t) = sin(t)

Måste vi faktiskt skriva ut enheten om vi skall vara helt formella eller då explicita. sin(t) är per definition dimensionslöst men m(t) är det per definition inte. enh(m(t)) = kg. Då måste enh(sin(t)) = kg, men det strider mot dess egen definition. Här har vi motsägelse. Vi kan dock förtydliga genom att antingen skriva

m(t) = sin(t)·m(0)

Som jag tycker är matematiskt mest stringent och bäst, eller en "fysikalisk" skrivning som jag tycker är lite sämre som vi ser nedan.

m(t) = sin(t)·kg

Då har m(t) rätt enhet och sin(t) är enligt definitionen fortfarande dimensionslös.

Fast jag har inte fel. Och jag kan garanterat lösa dina problem du ställer nedan, alternativt visar jag på motsägelser från din sida.

Det jag pratar om bygger på principen om:
http://en.wikipedia.org/wiki/Dimensi...mmensurability

Vi studerar det vidare.

Du säger att:

Lu(t) = Lu(0)-t/2

Vi vet per definition att

enh(Lu(t)) = m

då gäller att
enh(Lu(0)-t/2) = m
Då måste vi säga att -t/2 har enheten m, annars får vi motsägelser. Eftersom vi inte vill ha motsägelser säger vi att -t/2 har enheten m. När vi använder funktionen använder vi alltså bara mätetalet av tiden alternativt fixar det så att vi säger att -1/2 har en sådan enhet att det multiplicerat med en variabel med enheten sekunder ger oss enheten m.

När man behandlar exponentialfunktioner kan vi dock inte undkomma det, då måste både argumentet och värdet vara dimensionslösa.

Jag förstår ditt resonemang. Och du för ju precis samma resonemang som jag gör, fast jag gör det mycket mer formellt än vad du gör.

Ni har fortfarande kvar att argumentera för att värdemängden av r² tillåter oändligheten som ett element.

Har lite brått så bemöter bara detta, som hela ditt resonemang (som är ypperligt bra i övrigt) bygger på.
Är det du säger vettigt?

enh(m) = kg. Check

enh(f(x) = enh(x) INTE check.

Tänk dig en funktion av ett sågverk, sågverket tar enheten träd och transformerar till enheten plank, kalla funktionen f. Antalet plank som fås ut av ett träd är 5. Alltså:

P = f(t) = 5*t

I ord: Antalet plankor är lika med funktionen f:s värde för mängden t träd.

Enhetsanalys:

enh(P) = plankor

enh(f(t)) = plankor

enhet (t) = träd


Funktionen f fungerar alltså på följande vis:

Träd -> f -> 5*plankor

alternativt träd går in i funktionen som gör om dessa till plankor.

Anledningen till detta är att femman, i detta fall, har enheten Plankor/träd, därför får funktionen f enheten plankor trots att t har enheten träd.

Jag anser det visat att ditt resonemang enh(f(x)) = enh(x) är felaktigt.

Vari tänker jag, eller du, fel?

För skojs skull spinner jag vidare på ditt andra argument också.

Där du säger följande:

m(x) = m(1)·x
r(x) = r(1)/x

Enligt definition vet vi att:

enh(m(x)) = kg
enh(r(x)) = m

Slutsatsen är då att

enh(x) = 1

Enligt definitionen av tröghetsmoment:
I(x) = m(1)·x·(r(1)/x)² = m(1)r²(1)/x

Enheten för I är rätt vilket är ett krav. Detta krav uppfyllde vi ju sedan innan och Theta har flera gånger gett bra argument för detta. Jag hoppas i och med detta inlägg och de andra två inläggen att vi för en gångs skull kan släppa snacklet om enheter nu. Det har varit dött sedan många många inlägg tillbaka och är alltså redan utrett.

Vi ville studera om I(x) ≠ 0 när m(x) → 0.

Alltså:

m(x)→0 ⇔ m(1)·x→0 ⇔ x→0

Vi ser då att:

I(x) = ∞ när x→0

Vi får då motivera varför antingen m(x) eller r²(x) har oändligheten som element i värdemängden. Jag kan inte finna någon sådan motivation.

Ett annat argument, det argument där I är lika med 1 för alla x:
Vi har också kvar för det andra argumentet där I(x) = 1 för alla x. Att motivera varför funktionen r tillåter oändligheten i sin värdemängd. Vi har sagt sedan innan att

Värdemängden(r(x),m(x)) = ℝ⁺

om vi säger att

f(x) = x = m

Då gäller

enh(f(x)) = enh(x) = enh(m)

Detta är ingen tvekan om saken. På samma sätt som att:

Studera

2+1 = 3 = 4-1

Om och endast om

(2+1)² = 3² = (4-1)²

Notera att om och endast om gäller oberoende av kvadreringsfunktionens bijektivitet eftersom vi inte studerar variabler.

Vi kan däremot då skriva att:

f(x) = x·kg ⇔
enh(f(x)) = enh(x·kg) = enh(x)·enh(kg) ⇔ enh(x) = 1

Där vi definierade enh(x) = 1 som att x är enhetslös.

Vi skulle också kunna skriva:

f(x) = x·f(1) ⇔
enh(f(x)) = enh(x·f(1)) = enh(x)·enh(f(1))

Vi kan nu säga att x är enhetslöst och att den bara är mätetal.

Riktigt bra exempel. Dels för att det är enkelt och dels för att det är svårt...

Jag vet inte om

enh(P(t)) = plankor

eller om

enh(P(t)) = antal

Vi säger att det är plankor.

Vi vet ju att:

P(t) = 5t

P är en rät linje. 5 är dess riktningskoefficient

Definitionen av riktningskoefficienten ger oss:

ΔP(t)/Δt = 5 ⇔
enh(ΔP(t)/Δt) = enh(5) ⇔
enh(ΔP(t))/enh(Δt) = enh(5) ⇔
enh(P(t))/enh(t) = enh(5) ⇔
plankor/träd = enh(5)

Vi får då:

enh(P(t)) = enh(5t) = (plankor/träd)·träd = plankor

Mvh