Gör som Lokf säger och först använd satsen om rationella rötter, den säger att _om_ det finns en eventuell rationell rot på ett polynom av grad n, som ser ut som a_0*x^n + ... + a_n så är den roten på formen +-p/q där p är en primtalsfaktor till a_n och q är en primtalsfaktor till a_0. Och då kommer man även få ut _alla_ rationella rötter.
Eftersom du bara har en 1a framför x^3 termen så är eventuell rationella rötter +-1, +-2, +-3, de är primtalsfaktorer till -6an. För förståelse så kan jag säga att om det hade stått tex 2 framför x^3 så hade även +-1/2, +-2/2=+-1(finns med tidigare) och +-3/2 varit eventuella rationella rötter, alltså utöver de tidigare rötterna. Nu återstår det att testa dessa rötter. Man hittar att x=2 är en rot.
Enligt faktorsatsen kan man nu skriva hela polynomet av grad 3 som (x-2)(P av grad 2)
För att hitta ett polynom av grad 2 kan man antagligen köra polynomdivision med (P grad 3)/(x-2). Eftersom vi vet att 2 är en rot så skall detta gå jämt ut.
Om det är enkelt tycker jag man istället kan öva sig och försöka hitta ett polynom genom att kolla på det. vi vet att det kommer se ut (x-2)(a*x^2+b*x+c)=(x^3 + 2x^2 -5x -6), då ser vid att x^3 kan bara uppkomma en gång och då när x från första faktorn multipliceras med a*x^2 från andra faktorn. alltså vet vi att x*a*x^2=x^3 och därmed att a=1. samma vet vi att -6 i högerledet bara kan uppkomma med (-2)*c=-6, alltså c=3. nu har vi (x-2)(x^2+b*x+3)=(x^3 + 2x^2 -5x -6) för att få reda på b så ser vi att de ända sätten att få x^2 i högerledet så måste vi multiplicera xtermen från första faktorn med b*x^2 i andra faktorn och även -2 från första faktorn med x^2 från andra faktorn. av det kan vi nu set att x*b*x+(-2)*x^2=2x^2 och av detta ser vi att b=4
alltså vi har fått fram att (x-2)(x^2+4x+3)=(x^3 + 2x^2 -5x -6), nu gör vi en snabb kontroll att det stämmer och det verkar stämma.
Nu har vi en enkel andragradare som vi kan lösa enkelt med p/q formeln men egentligen är den lite väl enkel för det så vi kan göra på samma sätt med satsen om rationella rötter. Då ser vi att vi har +-1 och +-3 som eventuell rationella rötter. efter en snabb kontroll ser vi att -1 och -3 är rötter. alltså kan vi faktorisera hela din nämnare med (x+1)(x-2)(x+3).
Nu tycker jag att den också är enkel att lösa egentligen så man kan öva sig att kolla lite på den. vi vet att det kommer se ut på formen (x-a)(x-b), eftersom 3an i P av grad 2 är positiv kommer a och b ha samma tecken och a*b=3, kan gissa att |a|=1 och |b|=3. (|a| betyder den att a blir positiv, dvs |-3|=3 och |3|=3, bara omvandling till positiv) och sedan ser vi att -a*x -b*x=4x. då ser vi att en gissning på att a=-1 och b=-3 är en korrekt lösning.
Alltså har vi nu (x+1)(x-2)(x+3)=(x^3 + 2x^2 -5x -6)
Eftersom vi bara hade rationella rötter så fick vi ju reda på alla rationella rötter när vi tog ut de för tredjegradsekvationen och hade lika gärna kunnat kolla dessa från första början, det hade inte varit ett jättestort jobb i detta fallet. Men oftast så är det ett större jobb än att bara reducera ner problemet till ett polynom av en grad lägre så fort man har hittat en rot.
Hoppas det var till hjälp. Antog att själva partialbråksuppdelningen inte var något problem så svarar inte på det nu iaf.
EDIT: Alltså när man kollar på polynomen för att försöka lista ut det så skriver man inte ner det man gör på det sättet jag gjorde. Tanken är att det skall gå fortare och man skall slippa skriva så mycket så det gör man allt i huvudet, alternativt skriver lite kladd. Men poängen är att det skall gå fortare, om det inte går fortare så kan man ju likgärna göra det ordentligt med polynomdivision och p/q formeln alternativt rationella rötter.
__________________
Senast redigerad av qoC 2012-11-12 kl. 18:08.
