Största och Minsta värdet av f(x,y)

Hej, skulle behöva lite hjälp med en fråga.

Bestäm största och minsta värde av f(x,y) = x^2+y^2-4x
då (x,y) ligger på cirkelskivan med centrum i origo och radie 3.

Lite osäker på hur jag ska gå till väga. Tack på förhand!

Parametrisera din kurva för randpunkterna. Då får du en endimensionell funktion. Sedan kan du söka extrempunkter som vanligt, derivera map på din parameter.

För de inre punkterna får du beräkna och lösa f''_{xy}=0 och hitta stationära punkter.

På cirkelskivan innebär att:

x^2 + y^2 = 3^2

Funktionen är f(x,y) = x^2+y^2-4x, notera att eftersom det ligger på cirkelskivan kan x^2+y^2 bytas ut i funktionen mot 3^2=9 så funktionen kan skrivas f(x,y)=9-4x. Nu kan vi:

(i) Göra ett variabelbyte.

x = 3 cos u
y = 3 sin u

Då blir funktionen helt enkelt f(u) = 9-4*3cos(u)=9-12cos(u) som du lätt hanterar.

(ii) Resonera geoemtriskt. x och y ligger på cirkelskivan så f(x,y)=9-4x maximeras när y=0 och x=-3 ty då blir det f(x,y)=9-4*(-3)=21 och det minimeras när y=0 och x=3 ty då blir det f(x,y)=9-4*3=9-12=-3.

Du menar väl ändå f'_x = 0 och f'_y = 0 ?

Oj, ja, tack!