oberoende element i Riemann-tensorn

http://mathworld.wolfram.com/RiemannTensor.html

Riemann-tensorn (i fyra dimensioner) har 256 element (4^4). Dessa är indexerade abcd där a,b,c,d \in {0,1,2,3}.

Med hjälp av två symmetrier ska man kunna reducera det till 21 st oberoende element. Symmetrierna är:

• abcd = cdab
• abcd = (-)bacd (anti-symmetrisk här)

Det vill säga, om man vet element 1000, så vet man även 0100, 0010 och 0001.

Med med de transformationer på indexen som symnmetrierna innebär, kan man aldrig skapa fler av en viss siffra, det går bara att sortera om dem. Därför känns det som att (åtminstone) dessa element är oberoende:

xxxx (4st)
xxxy (12st)
xxyy (6st)
xxyz (12st)
xyzm (1st)

Vilket är 33 element. Så några av dessa är tydligen löjliga, men vilka?

Dock vill jag lägga till att ännu fler behövs. Med 1234, kan man till exempel inte få 1324 eller 1432.

Jag tror att felet du gjort är att du inte har tagit hänsyn till att antisymmetri reducerar antalet komponenter mer än symmetri. T.ex. är alla komponenter av typen xxxx (alla index lika) lika med noll på grund av antisymmetrin.

Tack så mycket, jag hade inte reflekterat över det!