Behöver hjälp med en Differentialekvation..

Hallå där ute!
Har kört fast på min hem läxa och hoppas på att det finns någon smart människa som kan hjälpa mig här!

Uppgiften lyder:

För vilket värde på konstanten a är y = e^-ax² en lösning till differentialekvationen (d²y)/(dx²)+x*(dy)/(dx)+y = 0 ? (Cp-71)


Har försökt att skriva om ekvationen men kommer ingenvart...

Tack på förhand!

Hur långt kommer du? Hur ser dy/dx och d^2y/dx^2 ut?

Skriv inte om differentialekvationen!

Du har y(x) given. Beräkna y'(x) och y''(x). Sätt in dessa i differentialekvationen och förenkla. Du får då en ekvation som innehåller a och x. Den skall gälla för alla värden på x. Vilket värde behöver då a ha?

Det jag sitter på just nu är följande:

d²y)/(dx²)+x*(dy)/(dx)+y =

y''(x)+x*y'(x)+y(x) = 0

y = e^-ax^2
y' = -2axe^-ax^2
y'' = 2ae^-ax^2

y''(x)+x*y'(x)+y(x) =
2ae^-ax^2+x*-2axe^-ax^2+e^-ax^2 = 0

Hur tar jag mig vidare härifrån ? Är inget vidare på att räkna med e^....

Det fetmarkerade är fel. När du sedan får ditt uttryck där du har massa e-termer och liknande, Bryt då ut så mycket som möjligt och tänk på att e^(x) aldrig kan bli 0.

Du behöver egentligen inte räkna med e^.. eftersom exponentialekvationen aldrig kan vara 0 och du har en homogen ekvation, så du kan faktorisera ut den och koncentrera dig på den andra faktorn.

Är andraderivatan verkligen korrekt?

Du kan bryta ut e^(-ax^2) ur varje term.

Tack för att du såg det



Nej såg att den var fel tackvare lokf. Tack för svaret.


Tack för hjälpen ska se om jag inte klarar den nu när andraderivatan väl blir rätt.

Ett annat tips är att uttrycka derivatorna i y som aldrig är 0.

y = exp(-ax^2)
dy/dx= -2axexp(-ax^2)=-2axy = y*(-2ax)
d^2y/dx^2 = -2ay - 2ax*dy/dx

Men dy/dx = -2axy ger:
d^2y/dx^2 = -2ay - 2ax(-2axy) = -2ay + 4a^2 x^2 y = y(4a^2 x^2 - 2a)

Så den kan skrivas:
y*(4a^2 x^2 - 2a) + x*(y*(-2ax)) + y = 0
y*(4a^2 x^2 - 2a) - 2ax^2 y + y = 0