Hjälp med matematikfråga, fakultet.

"Det finns 3 studentlägenheter lediga för uthyrning i ett hus. Varje lägenhet kan det bo högst 4 studenter. På hur många sätt kan man hyra ut lägenheterna till 10 givna studenter?"

Jag har kommit fram till något i stil med (10!/6!). Jag tänker med att för en lägenhet får vi det simpla uttrycket 10!/6! men hur blir det med 3 lägenheter? Blir det något i stil med 3!(10!/6!)? Eller hur ska man tänka?


Tack på förhand.

Om vi bara ser till antalet studenter i varje lägenhet kan vi ha följande kombinationer:
(format: antal i rum 1 + antal i rum 2 + antal i rum 3)
4 + 4 + 2
4 + 3 + 3
4 + 2 + 4
3 + 4 + 3
3 + 3 + 4
2 + 4 + 4
dvs 6 olika kombinationer.

Sedan kan förstås de 10 studenterna byta plats med varandra, medan antalet studenter i varje rum hålls konstant. Detta gör att vi kan lägga till en faktor 10! = 3628800.

Totalt får vi därmed 6 * 3628800 = 21772800 olika sätt.

Observera dock att detta är fel eftersom det exempelvis inte spelar någon roll i vilken ordning de 4 studenterna i rum 3 ordnas.

Man kan tänka på flera olika sätt.
Man kan placera studenter
3+3+4, 3+4+3, 3+3+3 eller
2+4+4, 4+2+4, 4+4+2.

3*C(10,3)*C(7,3)+
3*C(10,4)*C(6,4) = 22050
eller
3*10!/3!/3!/4!+
3*10!/2!/4!/4! = 22050

Det har du rätt i. Inom rummen spelar inte ordningen roll.

Nu blir det nog rätt i alla fall.

Fördelningar och antal kombinationer per fördelning:
4 + 4 + 2 => 10!/(4!*4!*2!)
4 + 3 + 3 => 10!/(4!*3!*3!)
4 + 2 + 4 => 10!/(4!*2!*4!)
3 + 4 + 3 => 10!/(3!*4!*3!)
3 + 3 + 4 => 10!/(3!*3!*4!)
2 + 4 + 4 => 10!/(2!*4!*4!)

Antal kombinationer per fördelning utgörs av att de 10 studenterna kan byta plats med varandra (ger en faktor 10!), men vi skall räkna bort byten inom rummen (ger divisionsfaktorerna).

Totalt får vi alltså
10!/(4!*4!*2!) + 10!/(4!*3!*3!) + 10!/(4!*2!*4!) + 10!/(3!*4!*3!) + 10!/(3!*3!*4!) + 10!/(2!*4!*4!)
= 10! * 7/1152 = 22050

Alltså 22050 olika sätt att dela upp dem. Och det värdet har napakettu också fått fram.