Högskolematte - Allmänn Iterationsmetod

Hej,

Jag hoppas att någon (gärna något illustrativt begåvad, bilder är bra! ) kan hjälpa mig med förståelsen för följande sats:

Lite förförståelse innan satsen...
f(x) = 0

Vi ersätter ekvationen ovan med en ekvation:
x = F(x)
som är ekvivalent med den första. Därefter definieras rekursivt en talföljd genom

x(2) = F(x(1))
Här står tvåan och 1:an för indexeringar, dvs x:et till vänster är en följd av att ett x med "ett steg" lägre index stoppas in i funktionen.

Om denna talföljd har ett gränsvärde a så är a en lösning till de båda två förstnämnda ekvationerna.

Låt F vara en deriverbar funktion i ett intervall I och antag att detta innehåller en rot a till ekvationen x = F(X). Antag vidare att

i) det finns ett tal c så att
c < 1 och D F(X) < c när x är ett element i I

ii) F avbildar intervallet I in i sig själv (gärna lite hjälp här med det här begreppet

Då är a den enda roten i I och rekursionsföljden konvergerar mot a för varje startvärde x(0) i I.

Detta är alltså relaterat till den kända iterationsmetoden Newton-Rhapsons metod och för den som har envariabels-analys boken av Persson/Böiers kan kolla upp ovanstående i Kap.4 (sid 244).

Litet långshot kanske men den som känner att den har koll får gärna blända mig med er pedagogiska förmåga.

Exakt vad undrar du över? Har inte själv envar versionen av Persson-Böiers så det ju svårt att veta vad som antas sedan innan etc. Utveckla gärna gällande vad som är klart och oklart. (Ifall du fortfarande underar vill säga.)

Jag förstår inte din notation, vad är tex skillnaden mellan stora och lilla x? Satsen ser dock ut att vara ett specialfall av Banachs fixpunktssats: http://sv.wikipedia.org/wiki/Banachs_fixpunktssats

Intuitivt säger satsen att om differensen mellan två på varandra följande tal i en talserie alltid minskar, så konvergerar talserien till en fixpunkt. Om serien är definierad så att a(k+1) = F(a(k)) kan kravet på minskande differens översättas till ett krav på derivatan. Detta kan ses med Taylorutveckling:

a(k+1) - a(k) = F(a(k)) - F(a(k-1)) = F(a(k-1)) + F'( d ) (a(k)-a(k-1)) - F(a(k-1)) = F'( d ) (a(k)-a(k-1))

där d ligger mellan a(k-1) och a(k). Om derivatan alltid är absolut mindre än c får vi |a(k+1) - a(k)| < c|(a(k)-a(k-1))|. Således är differensen minskande om c<1.

"F avbildar intervallet I in i sig själv" betyder att om x ligger i intervallet I så ligger f(x) också i I.

Vilket begrepp syftar du på? Intervall eller avbildar?