Matte D - Diffrentialekvationer mm

Har uppgifter gällande diffrential ekvationer som jag behöver akut hjälp med.

1. Det volymsområde som begränsas av x-axeln, kurvan y = x² och linjen x = 5 får rotera runt x-axeln. Beräkna den uppkomna rotationskroppens volym. Ange exakt värde.

2. Ett område bestäms av y-axeln, funktionen y = sqrt X och linjen y = 4. Beräkna volymen av den rotationskropp som uppstår då området tillåts rotera runt y-axeln.

3. Graferna till de två funktionerna y = 2 sin 3x och y = 4 cos 3x bildar tillsammans med y-axeln ett slutet område i första kvadranten. Bestäm detta områdes area.

4. ) Bestäm samtliga lösningar till differentialekvationen y’ + 3y = 0.

5. Invånarantalet i en glesbygdskommun följer sambandet y' = -0,012y. Den 1/1 2000 hade kommunen 15 000 invånare. Hur många invånare fanns det den 1/1 2012?

6. Visa att y = Ax + B/x2 är en lösning till differentialekvationen x2y'' + 2xy' - 2y = 0.

Området liknar en tratt, liggandes på sidan. Tänk dig att du skivar tratten så att varje del blir en cylinder. Cylinderns volym är pi*r*r*h, där cylinderns höjd, h, är dx (väldigt tunn), och radien är funktionens värde.

Då blir volymelementet dV=pi x^4 dx

V=Integral dV = Integral pi x^4 dx = pi [x^5/5](mellan 0 och 5) = 625 pi


Nu roteras det runt y-axeln. Då blir det lättare att bygga cylinderskal, som har volymen 2 pi y*r dx

V=Integral dV = Integral 2pi sqrt(x) dx = 4pi/3 [xsqrt(x))](mellan 0 och 4) = 32pi/3

Kommer inte på någon bra metod för tillfället för att lista ut integralens ändpunkt. Är du säker på att du skrivit av det rätt? Kom ihåg att skriva x^2 för x kvadrat och att använda parenteser, exempelvis cos(3x) (om det nu är det du menar).
y'+3y=0

Lösningen är av typen Ce^(kx), det ska man bara komma ihåg.

y'+3y=0
Cke^(kx)+3Ce^(kx)=0
k+3=0
k=-3

y=Ce^(3x)


y'=-0,012y
y=Ce^(-0.012x)

När x=0, (2000) får du lösningen C=15000. Sätt det som C, sätt x till 12 så får du resultatet. Skäll sedan ut din mattelärare för att 0.012 inte anger enhet, dvs, vi kan inte utan rimlighetsbedömning avgöra om vi ska sätta in 11 år i x eller 365*11 dagar (eller motsvarande timmar och sekunder).

y=Ax + B/(x^2) (säg till om jag har skrivit av fel, du bör använda parenteser flitigt när du skriver på internet)
y'=A - 2B/(x^3)
y'' = 6B/(x^4)

(x^2)y'' + 2xy' - 2y = 0 (och upphöjt skriver vi e^x)
x^2(6B/(x^4)) + 2x(A - 2B/(x^3)) - 2(Ax + B/(x^2)) = 0
6B/(x^2) + 2xA - 4B/(x^2) - 2Ax - 2B/(x^2) = 0
6B/(x^2) - 6B/(x^2) = 0

Sant.

Jag har kopierat in precis så som det står på uppgifterna så jag vet inte vad hon menar, om hon har glömt bort att sätta parenteser.
Tack ska du har för hjälpen! Jag ska gå igenom allt för att se att jag förstår och kan lösa liknande uppgifter själv.

y = 2 sin 3x och y = 4 cos 3x

Jag tolkar det som

y = 2 sin(3x) och y = 4 cos(3x)

För lösningen, dvs, slutet på integralen, gäller

2 sin(3x) = 4 cos(3x)
sin(3x) = 2 cos(3x)
tan(3x) = 2
x=atan(2)/3

Vad det gäller själva integralen:

A = I dA (från 0 till x= atan(2)/3) = I (4cos(3x) - 2sin(3x))dx (från 0 till x= atan(2)/3)=
2/3 [2sin(3x) +cos(3x)] (från 0 till x= atan(2)/3) = 2/3( -1 + [2sin(3x) +cos(3x)]) (x= atan(2)/3)=
2/3( -1 + (2tan(3x) +1)cos(3x)) (x= atan(2)/3)=2/3( -1 + (4 +1)cos(atan(2))) =-2/3 + 10cos(atan(2))/3 = -2/3 + 10cos(atan(2))/3

Här hänger det på att du vet att cos(atan(x)) = 1/sqrt(1+x^2)

-2/3 + 10/(3sqrt(1+2^2))=-2/3 + 10/(3sqrt(5))=(2/3)( -1+ 5/(sqrt(5)))=(2/3)( -1+ sqrt(5))

Det är rätt svar
http://www.wolframalpha.com/input/?i...9%29%2F2%29%29

och

http://www.wolframalpha.com/input/?i...x+%3D+4+cos+3x

men jag kan för mitt liv inte tänka mig att ni ska kunna dra cos(atan(x))=1/sqrt(1+x^2) ur skallen till en läxa. Det finns säkert någon smart substitution eller något man ska kunna, men vad vet jag?

Man kan också göra en substitution med u=cos(3x) eller u=sin(3x), men det är i princip lika krångligt som ovan. Man behöver dock inte dra den konstiga slutsatsen.

Den här uppgiften förstår jag fortfarande inte.

Vilken del av det är det du inte förstår?

y'=-0,012y, eller hur?

Lösningen är y=C e^(-0,012 x), det ska du kunna utantill. Säg till om det är det du har problem med.

Du måste nu lösa ut vad C är. Vi måste alltså hitta värdet av funktionen år 2000. Nu kommer frågan, var börjar vi räkna? Vi kan börja räkna vid år 0 (så för år 2000 är x=2000) eller så kan vi börja räkna vid år 2000 (år 2000 är x=0). Det gör egentligen ingen skillnad, då för år 2000 borde gälla

y(x) = Ce^(-0,012 (x+2000)) = C' e^(-0,012 *(x)) (C och C' är olika konstanter)
Ce^(-0,012 *(x)) *Ce^(-24)) = C' e^(-0,012 *(x))
Ce^(-24) = C'.

Om vi väljer "fel" nollvärde kommer C att ändras för att kompensera det. Därför kan vi välja att börja vår tideräkning vid år 2000.

Nu måste vi lösa ut C.

y=C e^(-0,012 x)

År 2000 är x=0

y(0)=C e^(-0,012 *0) = C e^(0) =C

Eftersom vi vet y(0) =150000 (befolkningen vid år 2000), är C=150000. Då vet vi:

y(x)=150000 e^(-0,012 x)

Vi vet också x=12 (eftersom vi börjar räkna vid 2000), så då är det bara att stoppa in det i funktionen

Befolkningen 2012 = y(12) = 150000 e^(-0,012*12)

Har ingen miniräknare till hands, det där får du räkna ut själv.

Asch, var ju bara att kopiera in i chromes sökruta.

y(12)=130000

ish.

Däremot är jag lite purken över det faktum att -0.012 inte har en enhet. Vi kan alltså utan rimlighetsbedömning veta om x ska vara 12 år, då det är antalet år sedan 2000, eller 365*12, då det är antalet dagar sedan 2000. Det finns ingen indikation på att det är år vi ska använda. Rent spontant skulle jag använda x=12*365*24*3600 sekunder, men min verklighetsbedömning säger mig att det är alldeles för snabbt. Det hade varit befolkningsändringen i typ Hiroshima.

Tack så mkt för en utförlig lösning! Det tog ett bra tag men till sist så gick det vägen. Uppskattar hjälpen och tålamodet väldigt mkt!

Det är helt fel!!!

Först har du glömt att använda radien r=x trots att du sagt nånting om denna.
Sen har du valt en definitionsmängd som är helt fel, dvs. "mellan 0 och 4". Det skulle blir mellan 0 och 16.