Högskolematematik - Tentauppgift

Kan någon hjälpa mig med följande uppgift?


Ange för vilka reella tal x det gäller att : 1/(1-x^2) > (1-x^2)


Har lite svårt för olikheter... Hade varit väldigt snällt om ni kunde förklara ovanstående uppgift för mig. Tack på förhand!!!

Steg 1: Posta i rätt underforum.

Ok, vi gör det här den långa vägen.
1/(1-x^2) > (1-x^2)

Bråk är inte så trevliga i olikheter, så vi vill multiplicera upp 1-x^2. När vi gör detta måste vi dock komma ihåg att om man multiplicerar med ett negativt tal så ändras olikheten. Därför har vi två fall, beroende på om 1-x^2 är negativt eller inte.

1 > (1-x^2)^2 om 1-x^2>0
1 < (1-x^2)^2 om 1-x^2<0

dvs

1 > (1-x^2)^2 om 1>x^2
1 < (1-x^2)^2 om 1<x^2

Nu löser vi olikheten (egentligen för båda, men eftersom de är så lika löser jag likheten)

1 = (1-x^2)^2
+-1 = 1-x^2

Två fall:

x^2=0
2=x^2, x=+1sqrt(2)

Ok, så likheten kan byta sanningsvärde vid punkterna 1 och -1 (för att den kan ha singularitet där) samt 0 och sqrt(2) (eftersom de är de ställen där de två funktionerna går om varandra)

Du har alltså ett antal områden, och du vet att om olikheten stämmer för en punkt så stämmer den för alla punkter i området den befinner sig i. Därför behöver du nu bara lösa olikheten för ett värde i varje område (-oo, -sqrt(2)), (-sqrt(2),-1), (-1,0), (0,1), (1,sqrt(2)), (sqrt(2),oo)

Du kommer att finna att olikheten stämmer för alla x utom i (-sqrt(2), -1) och (sqrt(2),1).

Se ovan...

Jag tycker den här metoden är enklare.

(1-x^2) <= 1/(1-x^2) multiplicera med (1-x^2)^2 som alltid är >= 0 ger:

(1-x^2)^3 <= (1-x^2)

=> (1-x^2)^3 - (1-x^2) <= 0
(1-x^2)*((1-x^2)^2 - 1) <= 0
(1+x)(1-x)((1-x^2+1)(1-x^2-1)) <= 0
(1+x)(1-x)(2-x^2)*(-x^2) <= 0

Multiplicera med (-1) och vänd:

(1+x)(1-x)(2-x^2)*x^2 >= 0

Notera nu att x^2 >= 0 för alla värden så den kan delas bort dvs:

0 <= (1+x)(1-x)(2-x^2)
0 <= (1+x)(1-x)(sqrt(2)+x)(sqrt(2)-x)

Och därefter är analysen enkel.

Edit: Tänk på att x != +-1 dock då när vi multiplicerar med (1-x^2)^2 blir av med singulariteten där är det bara => och inte <=>.

Fysik, matematik och teknologi --> Naturvetenskapliga uppgifter
/Moderator