Distributionsteori

2012-10-24, 16:54

#1

Medlem

Reg: Mar 2011

Inlägg: 926

Låt f vara oändligt deriverbar och visa att fd' = f(0)d' - f'(0)d där d är diracdistributionen.

<fd',φ> = <d',fφ> = -<d,(fφ)'> = -<d,f'φ + fφ'> = -f'(0)φ(0)-f(0)φ'(0). Hur fortsätter jag?

Citera

2012-10-24, 18:55

#2

Medlem

Reg: May 2011

Inlägg: 303

Citat:

Ursprungligen postat av henkemacho

Låt f vara oändligt deriverbar och visa att fd' = f(0)d' - f'(0)d där d är diracdistributionen.

<fd',φ> = <d',fφ> = -<d,(fφ)'> = -<d,f'φ + fφ'> = -f'(0)φ(0)-f(0)φ'(0). Hur fortsätter jag?

Eftersom <δ', φ> = -<δ, φ'> = -φ'(0) kan du fortsätta med

<fδ', φ> = ... = -f'(0)φ(0) - f(0)φ'(0)
= -f'(0)<δ, φ> + f(0)<δ', φ>
= <-f'(0)δ, φ> + <f(0)δ', φ>
= <f(0)δ' - f'(0)δ, φ>

vilket visar att fδ' = f(0)δ' - f'(0)δ.

Citera

2012-10-24, 19:56

#3

Medlem

Reg: Feb 2005

Inlägg: 13 139

Under antagande att regeln (f u)' = f' u + f u' redan är känd:
f δ' = (f δ)' - f' δ = (f(0) δ)' - f'(0) δ = f(0) δ' - f'(0) δ

Citera

Distributionsteori

Stöd Flashback