Fourierkoefficienter på olika sätt

Jag ska beräkna a_n och b_n i fourierserien

a_0 / 2 + sum_{n=1}^{inf} (a_n*cosnt + b_n*sinnt)

med u(t) = e^t för -pi < t < pi.

Jag tittar i min formelsamling och finner att

a_n = 2/T * int_{0}^{T}cosn*omega*t dt

Jag har T=2pi och omega = 1 vilket ger mig

a_n = 1/pi * int_{0}^{2pi} e^t * cosnt dt

Partiell integration två gånger ger mig

a_n = 1/(pi(1+n^2) * (e^(2pi) - 1)

och på samma sätt (fast med sinnt istället för cosnt i integralen)

b_n = 1/pi(1-n^2) * (1 - e^(2pi))


Detta är inte alls vad facit får. De använder (där F(n) är fourierkoefficienterna)

F(n) = 1/T * int_{-pi}^{pi} u(t)*e^{-in*omega*t}

För mig finns inte ens denna formel med i formelsamlingen, utan den som liknar mest har integrationsgränser från 0 till T istället för -T/2 till T/2. Är det lugnt att flytta integrationen en halv period? Jag menar, e^t är ju inte T-periodisk?

Framförallt undrar jag varför jag inte kan göra på mitt sätt.

Tack på förhand!

Funktionen följer alltså e^t från -pi till +pi. Utanför detta intervall upprepar den sig periodiskt.
Funktionen är kontinuerlig i t = 0 med u(0-) = u(0+) = e^0 = 1.


Men här tar du en funktion som följer e^t från 0 till 2pi. Det är inte samma funktion.
Den här funktionen är diskontinuerlig i t = 0 med u(0-) = e^(2pi) och u(0+) = e^0 = 1.

Right. Tack. Så även om det står 0 till T i formelsamlingen så ska integrationen alltid ske över aktuellt intervall? (varför står det då 0 till T i formelsamlingen...?)