Differentialekvationer, transformteori

Jag är övertygad om att man kan få med homogenlösningen om man bara har litet koll på distributioner.

Betrakta t.ex. ekvationen u'(t) = δ(t). Denna har lösningarna u(t) = H(t) + A.
Fouriertransformering genom Fu(ω) = ∫ u(t) e^(-iωt) dt ger ekvationen iω Fu(ω) = 1.
Vilka lösningar har denna?
Det är lätt att bara svara Fu(ω) = 1/(iω) och det är förvisso en lösning. Men det finns fler!
Vi kan nämligen lägga till en term på formen A δ(ω) eftersom ω δ(ω) = 0.
Det korrekta svaret är alltså Fu(ω) = 1/(iω) + A δ(ω).
När detta inverstransformeras får vi u(t) = (1/2) sign(t) + A/(2π) som stämmer överens med lösningen jag gav ovan (efter byte av A).

Okej, men ur hela lösningen går det inte att utläsa vad A och B är, för valet av partikulärlösning är inte entydigt.

Jag ändrar mig delvis. När homogenlösningen växer exponentiellt, såsom i fallet ovan, e^(2t) (At + B), saknar den egentlig Fouriertransform, varför den inte riktigt nås.