derivering av bråk.

hejsan!

hur deriverar man (x^3+2x)/(x^2-x-1) genom att använda reglerna för inre derivata och så? alltså, hur löser man den utan kedjeregeln? och förklara tydligen då jag är ganska trög

Kvotregeln, (f/g)' = (f'g - fg')/g² då g ≠ 0.

Tycker att Otroligs formel var lite otydlig, det är alltså: ((f' * g) - (g' * f)) / g^2

Hoppsan! Skrev fel i trådstarten. Menade förstås: Hur deriverar man det utan att använda kvotregeln?

Polynomdivision ger
x³+2x = (x+1)(x²-x-1) + (4x+1)
så att
(x³+2x)/(x²-x-1) = (x+1) + (4x+1)/(x²-x-1)

Första termen, x+1, kan nu enkelt deriveras utan kvotregeln.

Andra termen kan vi skriva om ytterligare genom att först kvadratkomplettera nämnaren:
x²-x-1 = (x-1/2)² - 3/4

Täljaren, 4x+1, kan nu skrivas
4x+1 = 4(x-1/2) + 3

Alltså gäller
(4x+1)/(x²-x-1) = (4(x-1/2) + 3)/((x-1/2)² - 3/4)
= 4(x-1/2)/((x-1/2)² - 3/4) + 3/((x-1/2)² - 3/4)
som är på formen
4t/(t² - 3/4) + 3/(t² - 3/4)
med t = x-1/2.

Den andra av dessa termen, alltså 3/(t² - 3/4), kan deriveras med kedjeregeln (sätt u = t² - 3/4 så att du får 3/u).

Den första termen kan vi partialbråksuppdela:
4t/(t² - 3/4) = A/(t-√3/2) + B/(t+√3/2) = (A(t+√3/2)+B(t-√3/2)) /((t+√3/2)(t-√3/2))
= ((A+B)t+(A-B)√3/2) / (t² - 3/4)
Med A = B = 2 får vi likhet.

Alltså har vi
4t/(t² - 3/4) = 2/(t-√3/2) + 2/(t+√3/2)
som kan deriveras direkt (och inre derivatan dt/dx = 1).

Sammanfattat får vi
(x³+2x)/(x²-x-1) = (x+1) + (4x+1)/(x²-x-1)
= (x+1) + 4(x-1/2)/((x-1/2)² - 3/4) + 3/((x-1/2)² - 3/4)
= (x+1) + 2/(x-(1-√3)/2) + 2/(x-(1+√3)/2) + 3/(x²-x-1)
där samtliga termen i sista ledet kan deriveras utan kvotregeln, men med kedjeregeln.

Derivatan blir
(1+0) + (-2)/(x-(1-√3)/2)² + (-2)/(x-(1+√3)/2)² + (-3)(2x-1)/(x²-x-1)
som uppenbarligen kan förenklas.

Varför? Om du har svårt att memorera den kan du bara skriva f/g som fg^-1 och sedan använda produktregeln.

tack för svaret!

men skulle man inte även kunna derivera uppgiften såhär?:

(x^3+2x)/(x^2-x-1)

så deriverar man och får ((3x^2+2)/-(x^2-x-1)^(-2))(2x-1)

Varför fungerar det inte? Tycker det borde det..

(löste den nu genom att sätta så att nämnare var upphöjt i -1 istället, så att jag slapp bråket helt och hållet. Sen gångrade jag allt med inre derivatan av nämnaren, och så blev det ju upphöjt i -2 istället och ett minustecken framför den parantesen).

visst, så skulle jag väl kunna göra, men jag vill förstå varför man använder kvotregeln, och så tycker jag det känns lite fusk. När jag ska lösa svårare uppgifter sen är det nog bra om jag förstår hur allt fungerar i grunden..

Du kan se den som ett specialfall av produktregeln Har du köpt produktregeln?

okej, nja har väl inte riktigt köpt den.. försöker förstå vad de menar på den här länken: http://www.matteboken.se/lektioner/m...-produktregeln

men jag fattar inte steget, där de skriver "bilda först följande differanser"

ps. såg nu att jag råkade använda ett annat konto i ts, men ni fattar nog att det var jag som skrev från båda haha

någon som kan förklara på ett enkelt sätt vad de menar med steget med differanser i länken ovan?

De inför bara beteckningar för att få mindre att skriva längre fram.