punkter i plan. bestäm den punkt i planet närmast origo

"Planet Π skär koordinataxlarna i punkterna (6, 0, 0), (0, 3, 0) och (0, 0, 2). Bestäm punkten N på Π, som ligger närmast origo."

Jag förstår inte riktigt hur jag ska lösa denna. Hur får jag fram planets ekvation (ax +by +cz = d) från dom givna punkterna?

Om jag får fram ekvationen så misstänker jag att jag kan ta reda på punkten där avståndet är kortast genom avståndet = (|ax + by + cz + d|)/√(a² + b² +c²) men jag känner att jag sitter lite fast. Någon som har lust att hjälpa mig?

Skapa två vektorer som ligger i planet:

u₁ = (6 0 0) - (0 3 0) = (6 -3 0)
u₂ = (6 0 0) - (0 0 2) = (6 0 -2)

Kryssprodukten ger oss normalens riktning:

u₁ × u₂ = ... = (6 12 18) = (1 2 3) (samma riktningar)

Planet kan alltså skrivas på formen x + 2y + 3z = d och insättning av valfri punkt i planet ger oss att d = 6 och planet har alltså ekvationen x + 2y + 3z = 6.

Ett sätt att lösa detta på är att du skapar en linje som går från origo i samma riktning som planets normal. Detta ger dig kortaste avståndet till planet och den punkt som ligger närmst (där linjen skär planet). Kalla linjen L:

L: (x y z) = (0 0 0) + t·(1 2 3)

Linjen skär planet precis då: (0 + t) + 2(0 + 2t) + 3(0 + 3t) = 6 ⇔ 14t = 6 ⇔ t = 3/7

Närmaste punkten blir alltså med insättning av t = 3/7: (3/7, 6/7, 9/7) och avståndet till origo blir |3/7·(1, 2, 3)| = ... = 3/7·√14 = 3·√(2/7) l.e.

Alternativt kan du beräkna ortogonalprojektionen av en vektor, OP (från origo till en av punkterna i planet), på normalvektorn och sedan beräkna dess längd.

Då planets skärningspunkter med koordinataxlarna är givna ges planets ekv helt enkelt av

x/6 + y/3 + z/2 = 1,

ty y = z = 0 ger x = 6, etc.