Fourier transform

Hej

Behöver verkligen hjälp med denna fråga. Skulle uppskatta om någon visade en lösning.
Hälsn

http://tinypic.com/r/90y8eb/6

Dela upp summan:

Σ_{-∞, ∞} a^|n|·e^(-iΩn) = Σ_{-∞, -1} a^(-n)·e^(-iΩn) + Σ_{0, ∞} a^n·e^(-iΩn)

Σ_{0, ∞} a^n·e^(-iΩn) = Σ_{0, ∞} e^(n·(lna - iΩ)) = 1/(1 - e^(lna - iΩ)) = 1/(1 - a·e^(-iΩ)) = 1/(1 - a·(cosΩ - i·sinΩ))

Σ_{-∞, -1} a^(-n)·e^(-iΩn) = - 1 + Σ_{-∞, 0} a^(-n)·e^(-iΩn) = - 1 + Σ_{0, ∞} a^(n)·e^(iΩn) = ... = -1 + 1/(1 - a·(cosΩ + i·sinΩ))

Σ_{-∞, ∞} a^|n|·e^(-iΩn) = 1/(1 - a·(cosΩ - i·sinΩ)) + 1/(1 - a·(cosΩ + i·sinΩ)) - 1

Så, då är det bara att förenkla lite och undersöka kraven för konvergens (när är den geometriska serien konvergent som har använts ovan?)

Vad menar du med och undersöka kraven för konvergens?

Vänliga hälsningar

För att den geometriska summan Σ_{0, ∞} x^n ska vara konvergent gäller att |x| < 1. I ditt fall har du exempelvis Σ_{0, ∞} a^n·e^(-iΩn), och för konvergens ska gälla att:

|a·e^(-iΩ)| < 1 ⇔ |a||e^(-iΩ)| < 1 ⇔ |a|·1 < 1 ⇔ |a| < 1 (blir samma i det andra fallet)

Så får konvergens måste gälla att |a| < 1 (helt enkelt att -1 < a < 1).

aha just precis, nu fattar jag. Tack verkligen min vän. By the way. Vad får du fram om du förenklar det hela?

Det blir exakt samma det man ska visa, men det lämnar jag som övning till dig.