Implicit derivering

Visa att ekvationerna

3x+xz+y+e^y+z^2=2
5x+xy+yz+e^y+2sin(z)=1

i en omgivining av (0,0,0) definierar c^1-funktioner x(z) och y(z). Beräkna x´(0) och y´(0).

Jag tänkte att man tar ut gradienterna för båda funktionerna, tittar att de är kontinuerliga och sätter in (0,0,0). Jag tittar även att x och y partiell derivatorna är 0-skilda, vilka de är.

Sen tar det stop för mig....

Tacksam för hjälp!

Hur kan de definiera någonting i en omgivning av (0, 0, 0) när denna punkt inte är en lösning till ekvationssystemet? Första ekvationen uppfylls inte.

Jävlar, skrev av fel!

Ekvationerna ska vara
3x+xz+y+e^y+z^2+e^z=2
5x+xy+yz+e^y+2sin(z)=1

Sätt f(x,y,z) = 3x+xz+y+e^y+z^2+e^z-2 och g(x,y,z) = 5x+xy+yz+e^y+2sin(z)-1 så att ekvationerna kan skrivas f(x,y,z) = 0 resp g(x,y,z) = 0.

Antag att ekvationerna definierar deriverbara x(z) och y(z).

Vi deriverar uttrycken f(x(z),y(z),z) resp g(x(z),y(z),z) som ju båda = 0 längs lösningen:
0 = df/dz = ∂f/∂x dx/dz + ∂f/∂y dy/dz + ∂f/∂z = (3+z) x'(z) + (1+e^y) y'(z) + (x+2z+e^z)
0 = dg/dz = ∂g/∂x dx/dz + ∂g/∂y dy/dz + ∂g/∂z = (5+y) x'(z) + (x+z+e^y) y'(z) + (y+2cos(z))

Insatt (x,y,z) = (0,0,0) får vi
0 = (3+0) x'(0) + (1+e^0) y'(0) + (0+2*0+e^0) = 3 x'(0) + 2 y'(0) + 1
0 = (5+0) x'(0) + (0+0+e^0) y'(0) + (0+2cos(0)) = 5 x'(0) + 1 y'(0) + 2

Eftersom determinanten det(3, 2; 5, 1) = 3*1 - 2*5 = 3 - 10 = -7 ≠ 0 finns en unik lösning (x(0),y(0)) till detta system, och så inte bara i (0,0,0) utan i en omgivning av denna punkt (eftersom determinanten är kontinuerlig och därför håller sig ≠ 0 i en omgivning).