Största värde för arctan funktion.

Men hur skulle du räkna ut det då?

Det är inte min uträkning som är fel. Det är dock uteblivandet av resonemang för generaliserbarheten i lösningen som inte är tillräckligt bra.

Följ det jag har gjort tidigare tills dess att texten slutar. Kommer alltså att nedan kopiera min gamla lösning och lägga till de resonemang som jag missade för att efterleva kravet som jag beskrev ovan.

Uppgiften:
Detta är ett optimeringsproblem. Optimeringsproblem löser man ofta med hjälp av derivering.

Vi vet att en funktion har sitt största värde där och endast där derivatan är 0 eller vid ändpunkterna av definitionsmängdens intervall.

f(x) = arctan(3x)-arctan(x)
f'(x) = 3/(9x²+1)-1/(x²+1)

Vi vill nu sätta f' lika med 0 och lösa ekvationen.

3/(9x²+1)-1/(x²+1) = 0 ⇔
3(x²+1)/(9x²+1)-1= 0 ⇔
3(x²+1)-(9x²+1)= 0 ⇔
3x²+3-9x²-1 = 0 ⇔
-6x²+2 = 0 ⇔
x² = 1/3 ⇔
x₁ = 1/√3 och
x₂ = -1/√3

Okey! Här har vi två kandidater till maximalvärden. Det kan vara så att någon av dessa ger oss det maximala värdet. Det kan också vara så att inget av dessa ger oss det maximala värdet.

Detta var det jag skrev först men skall nu göra några tillägg i icke pedagogisk men troligtvis exakt form. Förstår du inte så hojta bara till!!! Hojta till ordentligt!!!

Vi konstaterar att f(1/√3) > f(-1/√3). Då uteblir x₂ som kandidat till maximivärdet och den enda kandidaten vi har kvar är x₁. Det kan dock finnas ett annat värde som är större än f(1/√3). Men eftersom vi vet att arctan är kontinuerlig och att även dess derivata är kontinuerlig räcker det att studera ett annat värde som är större än x₁. Vi behöver inte studera ett tal som vi vet är mindre än x₁ men större än x₂ eftersom vi vet att f(1/√3) > f(-1/√3). Alla tal däremellan är alltså mindre än f(1/√3).

Om vi ser att f(1/√3+1) är mindre än f(1/√3) så vet vi att f(1/√3) = max(f(x)). Om det inte är så att det finns ett tal mindre än x₂ som ger ett funktionsvärde större än f(1/√3). Vi måste studera när x går mot negativa oändligheten.

Vi måste alltså lösa gränsvärdet:

lim x→-∞ arctan(3x)-arctan(x) = 0

Vi finner att det är 0.

Alltså vet vi att:

f(1/√3) = max(f(x))

Min lärare sa att jag skulle derivera, sen förenkla och sedan göra ett teckenstudium för att se när funktionen avtar och växer. Tankar kring det?

Det går alldeles utmärkt. Att skriva ett teckenstudium på flashback är dock bökigt så det är något jag undviker så mycket som möjligt.

Men teckenstudium räcker faktiskt inte. Jag kan motbevisa det med ett exempel.

Det argument jag skriver här:
Är något som behövs utöver teckenstudiet.

Jag skall visa med ett pedagogiskt exempel på hur vi resonerar och skall utgå från ett exempel som liknar din uppgift för att visa på hur vi tänker med teckenstudiet och visa på att vi faktiskt inte bara klarar oss med teckenstudium.

Din graf ser ut såhär:
http://www.wolframalpha.com/share/cl...427ecktq5mb692

När vi deriverar och sätter lika med noll så hittar vi tre fall av punkter. Det kan antingen vara lokat max, lokalt min eller terasspunkter (detta finns ett samlingsnamn för, nämligen stationära punkter).

(Om du inte vet vad en terasspunkt är så kan du studera denna graf.)
http://www4a.wolframalpha.com/Calcul...f=RangeControl
Där x = 0 har vi en terasspunkt. Där är derivatan noll men den fortsätter alltså växa. Här är det alltså varken min eller max.

Återkoppling till din uppgift angående stationära punkter:
x = 1/√3 i din uppgift är definitivt en stationär punkt men vi vet inte än om det är ett lokalt min, max eller en terasspunkt. Man kan dock med hjälp av teckenstudium avgöra vilken typ av stationär punkt det är vi talar om. För din graf, alltså grafen till arctan(3x)-arctan(x), kan vi med hjälp av derivata konstatera att x = 1/√3 är en stationär punkt och mer specifikt kan vi med hjälp av teckenstudiet konstatera att det är ett lokalt maximi. Vi vet dock inte än om det är ett globalt maximi och detta måste vi undersöka vidare om det verkligen är ett globalt maximi. För om det är ett globalt maximi då är det funktionens största värde och uppgiften är löst.

I vanliga fall studerar man ändpunkterna av intervallet till definitionsmängden till funktionen som vi studerar. För det gäller att en funktion kan vara maximal där och endast där derivatan är noll eller vid ändpunkterna av intervallet till definitionsmängden till funktionen i fråga. Men i ditt fall så har vi inga ändpunkter och då blir det genast lite mer komplicerat. Skall tala mer om det nedan.

Angående ändpunkter av intervallet:
http://wiki.math.se/wikis/forberedan...6d6255451b.png
Här kallar man det absolut min och absolut max. Jag brukar kalla det globalt min och globalt max men vad man kallar det spelar egentligen mindre roll. I vilket fall ser vi här att funktionen har sin definitionsmängd från a till e. Viktigt att notera är alltså att både a och e ingår i definitionsmängden. Intervallet som funktionen opererar på är alltså stängd. Då måste vi, utöver att studera de stationära punkterna (alltså min-, max- och terasspunkter) även studera f(a) och f(e). Eftersom en funktion kan vara maximal eller minimal där derivatan är noll (stationära punkter) eller i ändpunkterna av intervallet. Detta kan vi alltså tydligt se på den bild som jag visade här. I din uppgift däremot så behandlar vi ett öppet intervall, alltså alla reella tal. Det finns inget största reellt tal och vi kan alltså inte studera några ändpunkter för några sådana finns ej för din uppgift. Däremot stöter vi då på ett till problem. Funktionen skulle kunna konvergera mot ett värde som är större än de lokala maximit vi har funnit. Lite lätt betyder konvergera att funktionen går mot ett värde men kommer aldrig att nå det.

Förklarar nedan lite mer om konvergens så att du förstår vad jag talar om.

Ett exempel på en konvergerande funktion är:

e^(-x)

http://www4a.wolframalpha.com/Calcul...f=RangeControl
Den konvergerar mot 0 när x går mot oändligheten.

I ditt fall för din uppgift så har du en sådan funktion. Då räcker det inte med ett teckenstudium och jag skall förklara varför det inte räcker med ett teckenstudium. Men först börjar jag med att visa hur vi kan göra med vårt teckenstudium för din uppgift. Jag kommer inte att förklara hur jag skapade mitt teckenstudium, jag antar helt enkelt att du har förkunskaper om detta redan innan men jag redovisar mitt teckenstudium här i en bild tillsammans med grafen till arctan(3x)-arctan(x).
http://i46.tinypic.com/ilk65s.png
Det verkar ju då som om allt är frid och fröjd. Vi har ju globalt min- och globalt max... eller? Ja för just denna funktion har vi det, men i allmänhet vet vi inte det. Teckenstudium räcker inte. Det kan vara så att funktionen konvergerar mot ett tal som är större än det lokala max vi fann sedan innan.

Se exempel nedan:
http://i47.tinypic.com/24vljjq.png
Skulle vi studera denna graf och använda teckenstudium skulle vi komma fram till exakt samma sak som i din uppgift. Teckenstudiet hade alltså sett exakt likadant ut. Men däremot ser vi här att största värdet inträffar inte när x = 1/√3. Däremot är det ett lokalt maximum! Men definitivt inget globalt maximum då vi ser att andra värden är större. Ytterligare vet vi inte om det finns ett största värde eller om den kanske går upp mot oändligheten där i den svarta svansen som jag ritade till. Vi vet dock att det finns större värden.

Den påhittade funktionen som jag ritade kan vi kalla g(x). För att se om g(x) konvergerar mot ett värde, dvs veta om ett största värde finns så får vi studera gränsvärdet:

lim x→-∞ g(x)

• Om gränsvärdet är ett reellt tal, tex talet 10, så finns ett största värde, dock inte för ett reellt x eftersom negativa oändligheten inte är ett reellt tal. Därmed är x = 1/√3 bara ett lokalt maximi och ett största värde finns inte för något reellt x.
• Om gränsvärdet är lika med oändligheten så finns inget största värde och x = 1/√3 ger bara ett lokalt maximi.
• Om gränsvärdet är mindre än värdet för g(1/√3) så är x = 1/√3 ett globalt maximi och inte bara ett lokalt maximi.

För just precis din uppgift så gäller dock det tredje fallet här. Just eftersom din funktion konvergerar mot 0 när x går mot minus oändligheten. Alltså konvergerar den mot ett värde som är mindre än det lokala maximit. Då vet vi att det lokala maximit måste vara ett globalt maximi och detta är funktionens största värde.

Hoppas det var tillräckligt klart här.

Mvh