Största värde för arctan funktion.

Undersök om f(x)=arctan3x-arctanx har ett största värde, bestäm isåfall detta. x tillhör reella tal.
hur ska jag gå till väga här? Jag har förstått att svaret är pi/6 när x har värdet 1/sqrt(3)
Tacksam för svar

Detta är ett optimeringsproblem. Optimeringsproblem löser man ofta med hjälp av derivering.

Vi vet att en funktion har sitt största värde där och endast där derivatan är 0 eller vid ändpunkterna av definitionsmängdens intervall.

f(x) = arctan(3x)-arctan(x)
f'(x) = 3/(9x²+1)-1/(x²+1)

Vi vill nu sätta f' lika med 0 och lösa ekvationen.

3/(9x²+1)-1/(x²+1) = 0 ⇔
3(x²+1)/(9x²+1)-1= 0 ⇔
3(x²+1)-(9x²+1)= 0 ⇔
3x²+3-9x²-1 = 0 ⇔
-6x²+2 = 0 ⇔
x² = 1/3 ⇔
x₁ = 1/√3 och
x₂ = -1/√3

Okey! Här har vi två kandidater till maximalvärden. Det kan vara så att någon av dessa ger oss det maximala värdet. Det kan också vara så att inget av dessa ger oss det maximala värdet (men i och med att definitionsmängden är alla reella x så vet jag att någon av dessa är det maximala värdet, dock har vi inte argumenterat för vilket av dessa x som är max). Vi måste alltså undersöka vidare.

Nu kan vi antingen välja att undersöka andraderivatan, eller att helt enkelt se vilket av dessa x som ger det största värdet. Vi kan också annars studera derivatan direkt och då implicit studera andraderivatan (vi indirekt studerar andraderivatan). Men enklast är helt enkelt att prova att kolla om f(1/√3) är större än f(-1/√3). Om så är fallet så är f(1/√3) det största värdet.

Underforumet, UNDERFORUMET

FMoT -> Naturvetenskapliga uppgifter

/Mod

Jag kanske missförstår dig, men säger du att någon av dessa måste ge största värdet på f? I så fall så skulle jag vilja säga nej -- du måste undersöka om ändpunkterna dvs x -> oo eller x -> -oo också.

Vadå ändpunkterna (har detta något med gränsvärde att göra?), och varför fungerade inte Bengtzz uträkning?

Finns inga ändpunkter, intervallet är öppet. Så jag säger att du har fel.

Isf skulle det ha det. Men i och med att x bara får vara reella tal så finns inget största eller minsta reella tal. Alltså finns det inga ändpunkter i intervallet som ens går att undersöka.

Hmm, nu är jag sjuk och febrig så jag tänker kanske fel. Du kan ju inte säga att funktionen har ett största värde där derivatan är noll även om du undersöker och ser att det är ett maximum. Kolla själv på min bild:

http://postimage.org/image/qmdm7n7av/

Här finns ett maximum och ett minimum men inget av det är största/minsta värdet då funktionen har ett asymptotiskt beteende för x -> +- oo. Skulle vi analyserat som du gjort skulle bullen ha högsta värdet medan det finns oändligt många värden som ger högre värden än bullen.

Men x tillhör de reella talen. Oändligheten är inget reellt tal.

Men däremot håller jag med dig. Det finns oändligt många värden som är större i din uppgift.

Vad jag kanske borde ha sagt är att jag vet att arctan konvergerar mot π/2. π/2-π/2 = 0 och såklart att f(1/√3) är större än 0.

Ett litet tilläg bara, även om BengtZz säkert vet detta så kan det vara bra för T.S, är att du även måste undersöka punkter där funktionen är definierad men inte derivatan. Det klassiska exemplet är ju |x| som har globalt minimum i x = 0, men vars derivata ej är definierad i x = 0.

Jo, precis. Oändligheten är inget reellt tal. Menade bara att det är lite slarvigt att inte kolla vad som händer när x -> oo oavsett om det är ett reellt tal eller ej. Det är rätt uppenbart här att det inte blir några konstigheter, men i allmänhet så är det lite slarvigt att utelämna sådant.

Jag förenklade ju rätt mycket som du ser i parentesen. Problemet med att göra det är att man inte alltid skriver att man förenklar allt. För mig var det för uppenbart att den konvergerar mot noll att jag inte ens skrev det! Didaktiskt dåligt gjort av mig.