Strategi för gränsvärden i flera variabler

Gränsvärden i flera variabler har inte riktigt fallit på plats för mig, dels har jag ingen bra intuition för när man kan misstänka att gränsvärde existerar eller inte samt hur man hanterar olika fall. Ska med hjälp av några exempel försöka illustrera mina undringar.

Exempel
lim (x,y)->(0,0) (x^2 +y^2) / (x + y) på området D = {(x,y); x > 0, y > 0}

Funktionen är diskontinuerlig i en omgivning av origo, så direkt insättning ger oss ingenting.

Söker vi längst axlarna så får vi längst x:
lim (t,0)->(0,0) t^2/t = lim (t,0)->(0,0) t = 0 och av symmetrin samma gränsvärde längst y.

Fortsätter vi att söka på strikt positiva linjer så kommer vi så småningom fram till att gränsvärdet borde existera, så vi övergår till polära koordinater och får.

lim r->0 r^2 / (r cosθ + r sinθ) = lim r->0 r / (cosθ + sin θ) = lim r->0 r * 1/sqrt(2)sin(θ + pi/4) = [r * beg. fnk.] = 0

Varför fungerar metoden med polära koordinater ovan?
Jag ser det som att vi låter r->0 medans θ får variera fritt, men enligt området D får θ bara variera mellan 0 och pi/2? Men borde då övergången till polära koordinater tillåta oss att hitta gränsvärden i R², inte begränsat till D?

Varför måste cosθ+sinθ skrivas om till sqrt(2)sin(θ + pi/4) för att säga att den är begränsad?
Om vi tänker oss mitt krav ovan på θ mellan 0 och pi/2 så kommer sqrt(2)sin(θ + pi/4) högst anta värdet 1. (sqrt(2)*sin(3pi/4) = sqrt(2)/sqrt(2) = 1).
Spelar detta någon roll? Eftersom att cosθ, sinθ kommer variera mellan -sqrt(2) och sqrt(2) borde detta räcka för att visa att vi har r gånger en begränsad funktion.

Hur ska man tänka när man uppskattar gränsvärden med triangelolikheten?
Har i ett fåtal exempel sett lösningar där man uppskattar gränsvärden med hjälp av triangelolikheten. Har dock inte fått någon känsla för i vilka typer av gränsvärden man behöver göra sådana uppskattningar (triangelolikheten, instängningslagen). Hittar inget i kursliteraturen och ingenting på nätet. Ett exempel eller en förlösande förklaring skulle uppskattas.

Hoppas någon vänlig själ kan tänka sig att skänka lite förståelse och insikt

sin x / x när x går mot 0 går mot 1.
Det visar du snyggt genom att låsa in den med en triangel.
Blir dock inte lätt att visa det här utan nån bild.
Googla?

Tack så mycket, beviset för sin(x)/x är jag väl förtrogen med. Det struliga är när man har gränsvärden av typen lim (x^2+y^2)->inf e^(-x^-y^2) / (1+x^2y^2), nu går just denna att lösa med övergång till polära koordinater, men det finns ju gränsvärden i flera variabler som enbart löses med hjälp av uppskattning. Skulle behöva en tumregel eller liknande. Något att hänga upp det på.