Räkna ut värmeöverföring för aluminium?

Har en bit aluminiumplåt 50x150x1mm, på den röda delen sitter en grej som avger 3watt värme, på den blå delen sitter en kylfläns på 50x50mm som passivt klarar av att kyla bort 3W, den vita delen är 50x50mm.
http://i46.tinypic.com/2mperfs.png

Hur räknar jag ut om aluminiumets värmeöverföringsförmåga i den vita delen är tillräckligt för att flytta 3W värme så den röda sidan aldrig blir mer än 45grader varm?
/Arne.Anka

Varför skulle du posta den här frågan? Nu har jag sullat bort hela kvällen på den ;-)

Jag har ännu bara kommit en bit på väg:

1. Dels måste frågeställningen vara vilken lägsta värmeledningsförmåga som behövs för att inte temperaturstegringen ska bli högre än 45 °C eftersom det bara är värmeflöden givna i frågeställningen. Man kan sätta en godtycklig initial temperatur. 0 °C kan vara praktisk.

2. Det är ett symmetriskt problem. Om ränderna numreras 1, 2, 3 och 4 kommer T1=-T4 och T2=-T3 om begynnelsetemperaturen är 0 °C. Geometrisk mitt kommer att hålla 0 °C. Om begynnelsetempen är Ti kommer geometrisk mitt att hålla Ti °C och T1 till T4 kommer att fördela sig kring Ti som kring 0 i förra fallet.

3. Tjockleken behöver inte beaktas. Värmeledningsförmågan för Al är hög och plåten är tunn.

4. Temperaturprofilen blir troligen inte rät i de färgade områdena eftersom värmeflödet är 0 invid de yttre ränderna.

5. De inre randtemperaturerna är enkla att räkna ut. Om de tre områdena numreras 1 (röd), 2 (vit) och 3 (blå) gäller
q2=-Ak(T3-T2)/L
där A = tvärsnittsarean 0.05*0.001, k = värmekonduktiviteten, t ex 220 W/(m*K) och L längden på område 2 = 0.05 m.
q2 = 3 W eftersom all tillförd effekt måste bort annars kommer del 1 att bara bli varmare och varmare. T3=-T2. Detta ger att T2=L*3/(2*A*k). 6.818 °C om k=220 W/(m*K). T3=-6.818 °C.

Sedan kommer jag inte längre just nu. COMSOL Multiphysics löser dock problemet lätt.

http://i1061.photobucket.com/albums/...ps35761282.jpg

(Dens=2700 kg/m3, Cp=900 J/(kg*K)

Där ser man den symmetrisk profilen kring initialtemperaturen 0 °C och att värdet på T2/T3 troligen är rätt. Temperaturkurvan i områdena 1 och 3 är inte rak. Lutningen tycks vara 0 vid de yttre ränderna.

Sedan kan man undra hur maxtemperaturen 45 °C definieras. Är det T1 eller den kalorimetriska medeltemperaturen i det röda området? Den senare går ju iofs att beräkna om man har funktionen för T i området.

I vilket fall så duger ren aluminiums värmeledningsförmåga bra för att hålla temperaturen i det röda området låg. k måste neråt 50 W/(m*K) (lite högre än för stål) för att temperaturen ska bli omkring 45 °C.

... och en del av morgonen.

Man kan lösa det i två steg. Först som i posten ovan för att få T2 och sedan ta Fouriers andra lag för det stationära fallet, d2T/dx2+Pv/k=0 där Pv är en volymetrisk källterm = 3/(0.05*0.05*0.001) och k värmekonduktiviteten. En enkel andragradare. Löser man den med randvillkoren att dT/dt(x=0)=0 och T(x=L)=T2 från posten ovan, T2=L*P/(2*A*k), där P är effekten 3 W fås

T(x)=P*(x^2-2*L^2)/(2*A*L*k)

där A är tvärsnittsarean 0.05*0.001, L längden 0.05 och k värmekonduktiviteten.

Det visar sig att T1 = 2*T2.

Att sedan finna det k som precis åstadkommer temperaturhöjningen 45 °C kommer som nämnts i posten ovan att bero på hur man ställer villkoret.

Ett minustecken föll bort.

T(x)=P*(2*L^2-x^2)/(2*A*L*k)