Akut hjälp behövs! Derivatan av inverterad funktion

Hej,

uppgiften lyder: funktionen

f(x) = ((2x^3) + x) / ((x^2)+2) är inverterbar. Bestäm derivatan av f^-1 i punkten -1. lyckas inte lösa detta hur jag än vänder och vrider på saken, har nyligen börjat med inverser. all hjälp/vägvisning uppskattas oerhört!

TACK SOM FAN PÅ FÖRHAND!

Jag räknade något liknande idag kanske kan greja detta.
förutsatt att jag förstått uppgiften rätt...

(jag reserverar mig för eventuella räknefel, hoppas du har överseende med detta)

Då kör vi!



(f^-1)(f(x)) = x

vi har en sammansatt funktion så man får använda kedjeregeln när man deriverar.

(f^-1)' * (f(x)) * f '(x) = 1


(f^-1)*(f(x)) = 1 / f '(x)

där vi vet att f(x) = -1

vi söker nu f ' (x) och måste derivera ((2x^3) + x) / ((x^2)+2) med kvotregeln.

Detta blir ( (6x^2 + 1)(x^2 + 2) - ((2x^3 + x)(2x)) ) / (x^2 + 2)^2


förenklat: (2x^4 + 11x^2 + 2) / (x^2 + 2 )^2



Nu ska x = -1 stoppas in i derivatan

Detta blir: f '(-1) = (2 + 11 + 2) / (1 + 2)^2 = 5/3


Nu ska detta bara stoppas in: (f^-1)*(f(-1)) = 1 / f '(-1) = 1 / (5/3) = 3/5


Svaret borde alltså bli 3/5 om jag räknat rätt.


Hoppas det hjälpte =)

det där verkar stämma! tusen tack!!

Kanon! Kul att man kunde hjälpa till

f^-1(x) = y <=> f(y) = x

f'(y)*dy/dx = 1
dy/dx = 1/f'(y)
d/dx (f^-1(x)) = 1/f'(f^-1(x))
I detta fall:
d/dx (f^-1(-1)) = 1/f'(f^-1(-1))

x = (2y^3+y)/(y^2+2)
Och om x=-1 får vi även y=-1

Vi har nu:
d/dx (f^-1(-1)) = 1/f'(-1)

f'(-1)=5/3

Alltså:

d/dx (f^-1(-1))=3/5

Detta tror jag missats i Callezzz lösning.