Vektorrum, dafuq?

Efter ännu en föreläsning om vektorrum sitter jag fortfarande helt bakom flötet, linjär algebra har ballat ur.

Är det någon här som skulle vilja förklara för mig grundligt vad ett vektorrum är samt vad det har för syfte, så att jag förhoppningsvis kan ta mig framåt i kursen?

Ett vektorrum är en mängd objekt, som vi kallar vektorer, som vi kan lägga ihop och multiplicera med tal och få nya vektorer. Om x,y är vektorer så är även x+y och ax vektorer, där a är ett nummer. En bas av ett vektorrum är en uppsättning vektorer från vilka vi kan "bygga" alla vektorer i rummet genom linjära kombinationer. Dessa vektorer kallas basvektorer. Enklaste exemplet på ett vektorrum är nog R, dvs. de reella talen. Vi kan ta som basvektor av R talet 1. Alla andra tal i R kan sen bildas genom att multiplicera talet med 1. Okej, lite dumt exempel men kanske bra iaf. Näst enklaste är väl R^2, dvs. planet. Vi kan ta som basvektorer enhetsvektorer längs x och y axeln, kalla vektorerna x,y. Då kan vi skriva vilken vektor som helst i R^2 (vilket ju är de olika punkterna i planet) som en linjärkombination av dessa (dvs. vilken vektor som helst kan skrivas som ax+by). Den naturliga generaliseringen är såklart R^n. Ett mer exotiskt exempel är mängden av alla funktioner, säg av en variabel. Vi kan lägga ihop två funktioner och få en ny funktion och vi kan multiplicera en funktion med ett tal och få en ny funktion: alltså enligt definitionen är rummet av alla funktioner ett vektorrum. Dock är det oändligdimensionellt men det är inte ett problem även om saker såklart blir lite jobbigare.

Sen vad vektorrum har för syfte, matematikern skulle svara att studiet av vektorrum och operationer mellan vektorrum är intressanta i sig själv och leder till en rik struktur vilket är vad man studerar i linjär algebra. En fysiker skulle säga att vektorrum är användbara eftersom vi kan använda dem för en massa saker inom fysiken, som t.ex. krafter inom klassisk mekanik, för att beskriva kvantmekaniken, beskriva fält som det elektromagnetiska fältet osv. Alla möjliga olika saker har strukturen av ett vektorrum, som exemplet med funktioner ovan, och därför är det en väldigt viktig basal struktur att studera. Linjär algebra är verkligen skitviktigt och dyker upp så fort man gör någon typ av högre matematik.

Tack så mycket för ett väldigt vettigt svar! Känns som om att en hel del saker klarnade :]