Invarians hos Hamiltonoperator

Och sedan dess har jag bara gjort det alldeles för komplicerat i mitt huvud. Så det handlar bara om att H saknar explicit beroende av r, och är därför invariant under alla transformationer av r?

De ger bara ett beroende av derivatan, inte av positionen.

Ok, så om något beror av d/dx så är det invariant under translationer i x (men inte vilken transformation som helst).

Om operatorfältet Ω endast beror av partialderivatorna ∂/∂x, ∂/∂y och ∂/∂z så är Ω invariant under translationer.

Precis. Ok!
Om vi nu vill se detta explicit, i en dimension?
Vi låter

x -> x' = x+a.

Då har vi

d/dx -> d/d(x+a)

och på en funktion f = f(x),

df/dx' = df/d(x+a) = lim (f(x+a+h) - f(x+a))/h = df(x+a)/dx

Detta verkar som att derivatan liksom följer efter x i transformationen, eller? Jag tycker inte det ser ut som invarians. Vad missar jag?

Definitionen av invarians.

Ok. Jag tänkte mig att vi ville ha kvar derivatan i x även när vi kollade på x+a, om du förstår.

Vi börjar med att studera operatorfältet Ω definierat genom Ωf(x) = (φf)(x) = φ(x) f(x), där φ är en fix funktion och f en godtycklig funktion på vilket Ω verkar.

Observera att man skall tolka uttrycket Ωf(x) som att vi utgår från funktionen f, applicerar operatorn Ω, och slutligen tar värdet av detta i x.

Låt T vara translation a enheter åt höger, dvs Tf(x) = f(x-a).
Låt oss använda beteckningen T' för inversen till T: T'f(x) = f(x+a).

Det är då naturligt att definiera translationen av Ω genom
(TΩ)f(x) = Tφ(x) f(x) = φ(x-a) f(x)

Detta kan vi nu skriva om
φ(x-a) f(x) = φ(x-a) f((x-a)+a) = φ(x-a) T'f(x-a) = (φ T'f)(x-a) = (Ω(T'f))(x-a) = (T(Ω(T'f)))(x)

Alltså får vi (TΩ)f = T(Ω(T'f)).


Nu tar vi denna formel som definition av TΩ för generella Ω.


Naturligtvis skall vi studera fallet Ω = d/dx.

Vi börjar inifrån och arbetar oss utåt:
(T'f)(x) = f(x+a)
(Ω(T'f))(x) = lim (f((x+h)+a)-f(x+a))/h = lim (f((x+a)+h)-f(x+a))/h = f´(x+a)
(T(Ω(T'f)))(x) = f´((x-a)+a) = f´(x) = (Ωf)(x)

Alltså gäller ((TΩ)f)(x) = (T(Ω(T'f)))(x) = (Ωf)(x), dvs TΩ = Ω.