Invarians hos Hamiltonoperator

Jag fattar inte riktigt det här stycket:

http://i48.tinypic.com/2h39dmr.jpg

Hur ser vi att H(r) = H(r + dr)?

Vektorlaplacianen (funktionen H opererar på är ju en vektor) är ju 0 för r, eller hur?
Då är alltså H(r) = H(r + dr) = 0?
Tack!

r är inte fältet H verkar på.

Du kan se H(r) som ett operatorfält, dvs i varje punkt r ges en operator H(r). Denna kan vara samma i alla punkter, men behöver inte vara det. Om den är samma i alla punkter är H konstant.

Mer konkret kan säga att H(r) är konstant om [H(r), T(a)] = 0 för alla translationer T(a).

Exempel:
D = d/dx är konstant
E = x d/dx är inte konstant

Tack för svaret! Jag är rädd att jag fortfarande inte ser hur vi inser att H är invariant. Hur kan vi explicit evaluera H(r) och H(r+dr) för att se att de är lika? Jag borde kanske förstå det, men gör det inte. Tack igen.

Ser du något r i uttrycket för H?

Nej, såklart, men det gör jag inte i manne1973s exempel E = x d/dx heller.

EDIT: eller alltså, jag vet att jag egentligen fattar detta, men är förvirrad nog att inte se det nu, och att jag kommer skämmas som fan när det klickar. Jag behöver bara behandlas som en idiot en liten stund.

H(r) = H(r + dr) = 0

Gäller detta fortfarande? Alltså, låter vi H verka på r för att få H(r)?

Där har du x, den 1-dimensionella motsvarigheten till r.


Nej, H(r) är inte operatorn H verkande på r, utan värdet av den operatorvärda funktionen H i punkten r. H(r) är alltså en operator som sedan skall verka på ett tillstånd ψ.

Alright. Så, vilket argument har H som given i boken då?

I de tre leden i H(r´) = H(r + δr) = H(r) är argumenten r´, r + δr respektive r.

Jo, men jag menar när de ger den explicit.

Alltså, i grund och botten antar jag att detta handlar om att derivatorna inte bryr sig om var vi befinner oss, och att H saknar beroende av några koordinater. Jag hakar dock av någon anledning upp mig på något. Jag vet inte riktigt vad. Måste nog bara tänka mer på det.

Du menar inne i uttrycket? I det här fallet innehåller uttrycket inget r, vilket är den främsta anledningen till att H(r) är invariant/konstant.


Korrekt.


Kanske på att det inte är uppenbart hur invarians skall definieras?

Nja, det har jag nog inga problem med. Tror bara jag är kass på vektoranalysen. Jag ser x, y, z i H och tänker "det är ju r:s komponenter, då finns det ett beroende".