Sannolikhetstoeri, fråga kring väntevärde

Ska bestämma Cov(Z,N), där Z = Sum(Y_k, k=1..N), alla Y_k's har samma fördelning och är oberoende, N är en heltals-stokastisk-variabel.

Så tänker så att Cov(Z,N) = E(Z*N) - E(Z)*E(N), E(Z) = E(Y_k)*E(N) vilket ger sista termen E(Y_k)*E(N)^2

Sen första termen är E(Z*N) = E(Sum(Y_k, k=1..N)*N) = E((Y_1 + Y_2 + ... + Y_N)*N), tänker man lite på vad detta är känns det ju som att det borde bli E((Y_k*N)*N) = E(Y_k*N^2) = E(Y_k)*E(N^2)

Skriver man då om hela uttrycket får man E(Y_k)*Var(N), vilket också stämmer. Men min fråga gäller E((Y_1 + Y_2 + ... + Y_N)*N); finns det något snyggt sätt att visa att det faktiskt blir så?

har du sett formeln 'law of total expectation' på formen E(ZN)=E(E(ZN|N)) ? http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_expectation

vad det innebär är att E(ZN)=E(E(ZN|N))=sum(E(ZN|N=n)P(N=n))=sum(E((Y_1+Y _2+...+Y_N)N|N=n)P(N=n))=sum(E((Y_1+Y_2+...+Y_n)n| N=n)P(N=n))

Men nu är E((Y_1+Y_2+...+Y_n)n|N=n)=E((Y_1+Y_2+...+Y_n)n)=n^ 2E(Y_1)
eftersom N och alla Y_k är oberoende.

så likheten ovan blir
sum(E((Y_1+Y_2+...+Y_n)n|N=n)P(N=n))=sum(n^2E(Y_1) *P(N=n))=E(Y_1)E(N^2)

Snyggt! Testade med LOTE också, men måste väl gjort något fel för fick inte rätt då. Tack så mycket!