Sannolikhetsteori, beräkna fördelning

Försöker räkna ut sannolikhetsfunktionen för Y = Sum(X_k, k=1..N) där X_k för k=1,2,.. är Be(1/2)-fördelade och N är Po(y)-fördelad. Alla oberoende av varandra.

Såhär har jag tänkt hitills:

P(Y = k) = P(Sum(X_k, k=1..N) = x) = (Lagen om total sann.) = Sum(P(Sum(X_k, k=1..N) = x | N = n)*P(N=n), n=0..inf) = (oberoende) = Sum(P(Sum(X_k, k=1..N) = x)*P(N=n), n=0..inf) *

P(Sum(X_k, k=1..N) = x) = (1/2)^x*(1/2)^(n-x)*n!/(x!*(n-x)!) = 1/2^n*n!/(x!*(n-x)!)
P(N = n) = e^(-y) * y^n/n!

Vilket ger:

* = Sum(n!/(x!*(n-x)!)*e^(-y) * y^n/n!, n=0..inf) = Sum(1/(x!*(n-x)!)*e^(-y) * y^n, n=0..inf)

Sen här tar det stopp ungefär. Vet inte om jag tänkt rätt hittills men förutsatt att detta är rätt ska det konvergera mot e^(-y/2)*(y/2)^x/x! dvs Po(y/2)-fördelad. Men lyckas inte få den till det.

Men man kan ju inse att (Y | N = j) ~ Bin(j, 1/2) samt att jag låter N ~ Po(λ). Sedan har du ju att

p_Y(k) = Σp_{Y|N}(k, j)p_N(j) där man summerar j från k till oändligheten.

Pular man in formlerna för dessa fördelningar så får man

p_Y(k) = Σ C(j, k) (1/2)^k · (1/2)^(j - k) · λ^j /j!
= exp(-λ) Σ C(j, k) (1/2)^j · λ^j/j!
= exp(-λ) Σ (1/2 λ)^j / (k! · (j - k)!)
= exp(-λ)/k! exp(1/2 λ) (1/2 λ)^k Σ (1/2 λ)^(j - k) exp(-1/2 λ)/(j - k)!
= exp(-1/2λ) (1/2 λ)^k/k!

Den är alltså Poisson fördelad med parameter 1/2 λ. Förhoppningsvis så har jag inte slarvat något nu.

Ok ser ju rätt lika ut.. men du summerar j från k till oändligheten, varför det?

C(j,k) är 'J över K'?

Sen i markerade ledet, har du inte glömt e^(-λ) där?

Man skulle väl egentligen kunna säga att jag summerar från noll till oändligheten. Men funderar lite så inser man att p_{Y|N}(k, j) = 0 då j < k, så det är onödigt att ha med det i summeringen.

Japp.

Ja, det ser ut som jag gjort det. Den ska vara där.

Ja juste det är klart, nu hänger jag med. Tack så mycket!