mekanik

hej behöver hjälp med en mekanik uppgift http://www.ladda-upp.se/bilder/mawmfodwibdoa/

Jag har börjat med att ställa upp

et: m*v´=mg-F där F=μN

en: m*(v^2/r)=mg-N

eb: 0=N-mg

Skulle bli tacksam om någon kunde hjälpa mig

Jag kanske inte går snabbaste vägen eftersom jag bara gör som jag själv skulle gjort utan att snygga till det efteråt.

Accelerationen i polära koordinater ges av

a = (r''-r(θ')²)r + (rθ'' + 2r'θ')θ + z''z.

Eftersom r och z är konstanta försvinner en del termer och man kan skrivas

a = -r(θ')²r + rθ''θ

och man ser att vi "bara" har centripetalaccelerationen i radiell led och den vanliga tangentiella accelerationen längs med cirkeln. Krafterna som verkar på kulan är normalkraftens r- och z-komponenter samt friktionskraften längs med cirkeln. Newtons andra lag på komponentform får utseendet

Nr = -mr(θ')²
Nz - mg = 0
-μN = mrθ''

Man ser att det är enklast att inför en koordinat s = rθ längs med ringen. Vi kan skriva

Nr = -m(s')²/r
Nz = mg

och med

N = √(Nr² + Nz²) = √(m²(s')^4/r² + m²g²) = (m/r)√((s')4 + (gr)²)

fås differentialekvationen

-(μ/r)√((s')^4 + (gr)²) = s''

I den sista differentialekvationen byter vi till v = s' och skriver

-(μ/r)√(v^4 + (gr)²) = dv/dt

Med kedjeregeln dv/dt = (dv/ds)(ds/dt) = v(dv/ds) fås en differentialekvation för farten som funktion av sträckan och vi har

-(μ/r)√(v^4 + (gr)²) = vdv/ds

vilket separeras till

ds = -(r/μ)vdv/√(v^4 + (gr)²).

I vänsterledet integrerar vi från 0 till s och får då motsvarande gränser v0 till 0 i högerledet.

s = -(r/μ)[ln(v² + √(v^4 + (gr)²)/2] = -(r/μ)(ln(0² + √(0^4 + (gr)²)/2 - ln(v0² + √(v0^4 + (gr)²)/2)
= -(r/μ)(ln(gr)/2 - ln(v0² + √(v0^4 + (gr)²)/2)
= (r/(2μ))ln((v0² + √(v0^4 + (gr)²)/(gr))

vilket är svaret. Integranden ovan är av typen xdx/√(x^4 + a²) som finns tabellerad, alternativt kan man göra ett variabelbyte till y = x² för att få (1/2)dy/√(y² + a²) vilket är en mer bekant integral (?). Är den inte bekant föreslår jag ett variabelbyte till z = y + √(y² + a²).