Bestämma reelt tal så att Re(z)=0

Hej,

Någon som kan hjälpa mig med ansatsen till följande problem?

Bestäm det reella talet a så att Re(10-3i/a+i)=0

Börja med att använda paranteser, antar att du menar (10-3i)/(a+i)

Hursomhelst ska du sikta på att skriva om det till ett tal på formen A(a)+B(a)i (där A,B är reella funktioner) sätta A(a)=0 och därifrån lösa ut a.

My bad.

Så, typ, multiplicera med konjugatet till nämnaren i täljare och nämnare...

Täljare: (10-3i)*(a-i)= 10a-10i-3ai+3i^2 => 10a-10i-3ai-3
Nämnare: (a+i)*(a-i)=2^2+i^2= (a^2)-1 => a^2-1

Hur går man vidare?

Då har du att Re((10a-10i-3ai-3)/(a^2-1)) = 0
Dela upp (10a-10i-3ai-3)/(a^2-1) i im- och realdel så får du Re((10a-10i-3ai-3)/(a^2-1)) = (10a-3)/(a^2-1) a skiljt från 1.
(10a-3)/(a^2-1) = 0 <=> 10a-3 = 0 <=> 10a = 3 <=> a = 3/10

För att förtydliga:
(10a-10i-3ai-3)/(a^2-1) kan skrivas som (10a-3)/(a^2-1) - i(10+3a)/(a^2-1) där om vi har det komplexa talet z = u + wi så är u i vårt fall (10a-3)/(a^2-1) och w = (10+3a)/(a^2-1). Re(z) = u = (10a-3)/(a^2-1).

Snyggt, så långt är jag med. En fråga bara, att a^2-1 är skiljt från 1 ser man klart, för då skulle det bli division med noll vilket inte är definierat. Men varför bortser man ifrån nämnaren och bara sätter täljaren till noll?

...för annars skulle det bli division med noll...


Nämnaren är reell. Om u är reell, och z = x+iy, gäller att z/u = (x+iy)/u = (x/u)+i(y/u) är reellt om och endast om y/u = 0, dvs om y = 0, dvs om z är reellt.