Mängden av alla ändliga delmängder av N

Mängden av alla ändliga delmängder av N är tydligen en uppräknelig mängd men hur visar man detta.

Jag tänkte att man kanske kunde skapa mängderna
A_i = {B < N, |B| = i}, dvs alla delmängder av N som innehåller i st element. Och visa att dessa är uppräkneliga. Sedan är det bara att säga att unionen av alla A_i är uppräknelig.

Det jag inte vet är hur jag ska visa att A_i:na är uppräknelig. Säg A_3 som bl.a. innehåller {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4} ... detta är iofs en uppräkningsordning som kan fortsätta fint o få med alla mängder i A_3, men hur motivera för A_i.

Är jag på ett spår som går i mål?

Jag tror att spåret är svårt att följa till mål.

En bättre idé, tror jag:
Betrakta mängderna A(n) = { B ⊂ N | max(B) = n }
A(n) är ändlig och kan därför lätt räknas upp.

Räkna upp 2^N så här:

• Tomma mängden {}
• Räkna upp A(0)
• Räkna upp A(1)
• Räkna upp A(2)
• ...

Förstås! jag kom på max-grejen och gjorde den på mina A_i, men det är ju onödigt att ta det mellansteget!