Linjär algebra, ekvationssystem utan matris

Hej, jag läser första året på en civilingenjör linje. Har nu fått följande uppgift och har svårt lösa den då alla lösningar jag hittat involverar matriser vilket vi inte lärt oss än. Uppgiften lyder:
Bestäm först för vilka värden på konstanterna a och b ekvationssystemet har oändligt många lösningar och bestäm sedan dessa lösningar.

x+2y+z= 2
3x+2y-z=6
ax+4y-z=b
Har provat lite gausselimination och fått
x+2y+z=2
-4y-4z=0

Vet dock inte hur jag ska eliminera x ur tredje ekvationen när a står där. Svar uppskattas!

Ta minus a st av första raden.

Ja det var ju rätt lätt. Dock hammnar jag nu här :

x+2y+z=2
-4y-4z= 0
y(-2a+4) -z(a+1)= -2a+b

Min partner hävdar att det inte finns några värden på a och b som gör så att ekvationssystemet har oändligt antal lösning. Verkar vara en mycket flummigt formulerad fråga isåfall.

Förutsatt att din ekvation är rätt ser man att a = 5 ger -6y-6z = -10 + b. Med b = 10 blir det exakt samma ekvation som den ovan och ger då ingen ny information vilket borde göra att ekvationen har oändligt med lösningar, eftersom du har 2 olika ekvationer men totalt 3 variabler.

För alla a = 5 och b skilt från 10 har systemet inga lösningar.

För alla a skilt från 5 och alla b har systemet 1 lösning.

Om du inte är lika skarpsynt som aftonlusen kan du åtminstone eliminera z ur första och tredje ekvationen genom att använda andra ekvationen, som ger z = -y:
x+y = 2
y+z = 0
y(-a+5) = -2a+b


Sedan konstaterar man att...

Om -a+5 = 0 måste även -2a+b = 0 dvs b = 10 för att tredje ekvationen skall ha en lösning. I detta fall kan y anta vilket värde som helst, säg y = t. Sedan ger första och andra ekvationerna x = 2-t resp z = -t. Om b ≠ 10 saknas lösning till tredje ekvationen och därmed till hela systemet.

Om -a+5 ≠ 0 är y bestämd av y = (-2a+b)/(-a+5), och sedan får vi även i detta fall x och z ur första och andra ekvationerna.

Tackar för svaret, tror jag har förstått det hela nu.