Gammafördelning, transformation theorem (?)

Låt X vara Gamma(a_1, b) och Y Gamma(a_2,b), oberoende s.v. Visa att X/Y och X + Y är oberoende s.v. och bestäm deras fördelning.

Antar att man ska/kan använda transformation theroem för att lösa denna. Så låter:
Z = X/Y
W = X + Y

X = W*Z/(1+Z)
Y = W/(1+Z)

Sedan bestämmer jag Jacobianen som blir W/(1+Z)^2
Men sen så fastnar jag lite... tänker att om X och Y är oberoende så ges deras gemensamma fördelningsfunktion f(x,y) = f(x)*f(y)
f(x) = 1/b^2 * 1/Gamma(a_1)*x^(a_1 - 1)*e^(-x/b) (tror jag iaf..) och f(y) ges på samma sätt.

Sen multiplicerar jag ihop dom och får fram f(z,w), sen tänkte jag använda att att
f(z) = int(f(z,w)dw, w=-inf..inf). Men det är ju en helvetes integral att beräkna så vet inte riktigt hur jag ska komma vidare. Det jag vill bestämma är alltså fördelningen för z resp w.

Du behöver inte integrera. Det räcker med att skriva f(z, w) på formen

f(z,w) = g(z) h(w)

där minst en av

(a) ∫g(z)dz = 1
(b) ∫h(w)dw = 1

är uppfyllda, för om en av dem är det så måste den andra också vara det. Och du kommer inte ens behöva integrera för att göra det, det räcker med att känna igen h(w) som en känd täthetsfunktion.

Ok grymt, får ju rätt svar iaf. Men har jag då inte antagit att g(z) och h(w) är oberoende?

Om de inte vore det skulle det inte gå att skriva som f(z,w) = g(z)h(w). Men om det går (vilket är enkelt att se att det gör), så har du i och med det visat att g(z)h(w) är oberoende, så logiskt sett antar vi ingenting.

Dock så "vet" vi ju att de är oberoende, eftersom uppgiften ber oss visa det, och därför kan vi direkt försöka bevisa det genom att hitta faktoriseringen, utan att fundera alltför mycket på hur vi skulle lösa uppgiften om de inte var oberoende.

Tror inte jag förstår resonemanget till fullo, får ta en funderare på det. Gjorde nyligen en uppgift där jag fastnade i princip samma steg.

Har X ~ N(0,1), Y ~ X^2(n) (Chi-2) och dessa är oberoende. Ska nu visa att Z = X/sqrt(Y/n) ~ t(n)

Så väljer W = sqrt(Y/n) vilket ger:

X=Z*W = h_1
Y = W^2*n = h_2

|J| = 2w^2n.

f_X,Y(x,y) = 1/sqrt(2*pi) * e^(-x^2/2) * 1/Gamma(n/2) * y^(n/2-1)*(1/2)^(n/2)*e^(-y/2) vilket då ger oss att

f_Z,W(z,w) = f_X,Y(h1,h2)*|J| =

1/sqrt(2pi)*e^(-z^2/2)*e^(-w^2*(n+1)/2)*1/Gamma(n/2)*(w^2*n)^(n/2)*(1/2)^(n/2)

Från detta vill jag sedan visa att Z ~ t(n), ska bara försöka identifiera en t(n)-fördelning i detta uttryck så är jag klar? Lyckas inte göra det.. men kan ju blivit något fel någonstans, eller har så är det fel tillvägagångssätt?