Funktionslära uppgift (Surjektiv,Injektiv)

Tjaba, jag har ltie problem med den här uppgiften, och undrar hur man går tillväga för att lösa den.

Uppgiften ser ut såhär:
Låt f vara en funktion från Z till N definierad genom f(a)=a^2.
Låt g vara en funktion från N till Z definierad genom g(a)=-a.
Låt h vara den sammansatta funktionen av g och f, d.v.s. h(a) = f(g(a)).

a) Bestäm h:s definitionsmängd och målmängd. Motivera ditt svar.
b) Ge några exempel på funktionen h:s värden.
c) Bestäm värdemängden. Motivera ditt svar.
d) Ange om funktionen h är injektiv och om den är surjektiv. Motivera ditt svar.

Nån som kan ge en hint om hur man ska gå tillväga? känns som jag fastnat totalt. Det jag ahr förstått är..

a) h(-a)=(-a)²=a²,
g är bara definerad för naturliga tal och N är en delmängd av Z, och därför är h(a)=f(g(a)) också definierad för naturliga tal också, innebär det att h(a) är har Z som målmängd?

B) förstår jag

c) Hur finner man värdemängden?

funktionen blir

h(a) = f(g(a)) = f(-a) = (-a)^2 = a^2

a)

Som jag fattar det tar g de naturliga heltalen och smäller på ett minustecken, varför Df för h borde vara de naturliga heltalen. Alltså, om du försöker mata h med -2 eller 3,4 så blir g odefinerad. Medan f kan hantera allting som g skickar vidare.

Målmängden blir då de naturliga heltalen, eftersom kvadraten på de naturliga heltalen är en delmängd av de naturliga heltalen.


b)

h(1) = f(g(1)) = f(-1) = 1

h(2) = f(g(2)) = f(-2) = 4

osv.


c)

outputen, eller värdemängden, av h är kvadraterna på de naturliga talen, alltså [1, 4, 9, 25, ..., oo).

d)

Som jag fattar det av wikipedia så är villkoret för att en funktion ska vara injektiv att argument som ger samma resultat måste vara identiska OCH att två olika argument aldrig får ge samma resultat. Vilket är fallet här.

Eftersom jag är trött och sjuk så fattar jag inte riktigt surjektionskriteriet, men det verkar handla om att det ska finnas lika många element i definitionsmängd och målmängd. Och för att lura ut det behöver du ju rimligen bevisa/motbevisa om det finns lika många kvadrater på de naturliga talen som det finns naturliga tal.

Edit: Är det på högskolenivå lär du behöva rätt mycket bättre svar än så här, men kanske kan vara till någon hjälp. Fwiw så verkar det rätt fram att du bara kan wikia dig igenom det hela.

Edit edit: c luktar lite induktionsbevis.

N -g-> Z -f-> N

Den sammansatta funktionen tar tal från N och avbildar dem på tal i N. Så din definitionsmängd är N, och din målmängd är N.

c) Om du stoppar in ett tal a så får du utvärdet a². a kan vara alla naturliga tal, så din värdemängd är alla tal som kan skrivas på formen a², dvs alla kvadrater (på heltal).

d) För en surjektiv funktion ska värdemängden vara lika med målmängden. Det vill säga, för varje element i målmängden (N) säg b ska det finnas ett element ur definitionsmängden (N) säg a sådant att h(a) = b.
Men ta t.ex. b = 7. Det finns inte något a (i N) som uppfyller h(a) = a² = 7. Alltså är funktionen inte surjektiv.

Kolla sidan 84 här: http://web.abo.fi/fak/mnf/mate/kurser/propmat/kap4.pdf

Tackar så mycket båda två, har fått en jättebra förståelse tack vare er, men en sista fråga..

en injektiv funktion är när värdemängden är en delmängd av målmängden och jag antar att funktionen är injektiv just pga att alla kvadrater är en delmängd av alla naturliga heltal?

Har jag rätt eller är jag helt ute och cyklar?

Nej, värdemängden är alltid en delmängd av målmängden, oavsett om funktionen är injektiv eller inte.

En funktion är däremot surjektiv om värdemängden är lika med målmängden.

En funktion är injektiv om olika invärden ger olika utvärden, vilket även kan uttryckas som att ett visst utvärde bara ges av ett visst invärde:
f(x) = f(y) endast om x = y

Av två olika funktioner definierade genom samma uttryck men med olika definitionsmängder kan den ena vara injektiv och den andra inte vara det:
f : N -> N; f(x) = x^2 är injektiv
g : Z -> N; g(x) = x^2 är inte injektiv (exempelvis gäller g(+3) = g(-3) = +9)

samma fråga som jag har fastnat för.
jag kan fråga a,b och c men har fastnat episk på fråga d, har blivit nekad mitt svar 4ggr och det tar dem en vecka och rätta där emellan.
jag kan dem rätta svaren nämlingen att funktionen blir injektiv eftersom varje naturligt tal som "matas" in avbildas på ett unikt sätt.
ej surjektiv för att som i ovanstående ex så är målmängden inte den samma som värdemängden. det är en av varianterna på mitt svar, alla rätt men ej inte tillräckliga.

sista ledtråden jag fick på sista jag skickade in var:

jag ska bevisa att funktionen h(a)=f(g(a)) är injektiv genom att som i uppgift 3,2,4 visa h(a)=h(b) ---> a=b
alltså h(a)=h(b) ---> h(g(a))=h(g(b))

i vårt exempel så kokar vi ner den sammansatta funktionen till a^2 = b^2 som vi sedan tar roten och leder då till a=b.
Vi har nu visat att h(a)=h(b) ---> a=b gäller, alltså är h en injektiv funktion.

Nu gick du i en vanlig fälla! Är det säkert att a^2=b^2 måste medföra att a=b? Till exempel har vi ju att

(-1)^2=1^2

men bara för det gäller ju inte att

-1=1

Det finns dock en omständighet för den här funktionen, som ändå tillåter dig att dra din slutsats att a=b. Vad för något?

Ursprungliga frågan lyder:

Låt f vara en funktion från Z till N definierad genom f(a)=a^2 Låt g vara en funktion från N till Z definierad genom g(a)= -a. Låt h vara den sammansatta funktionen av g och f, d.v.s. h(a) = f(g(a))

frågan lyder: d) Ange om funktionen h är injektiv och om den är surjektiv. Motivera ditt svar.

Vi har h(a) = f(g(a)) = (-a)^2 = a^2 och eftersom g : N -> Z och f : Z -> N så gäller h : N -> N.
Definitionsmängden till h innehåller alltså endast icke-negativa tal, varför a^2 = b^2 bara har lösningen a = b (a, b är båda icke-negativa).