Z-transform

Hej, jag blir galen på domhär z-transformerna.

Ska hitta överföringsfunktionen till följande:

h[n] = (1/3)^n * u[n] + 4*(1/2)^n * u[n-1]

Antar att det "bara" är att z-transformera uttrycket, första termen går bra. Enligt tabell blir den 3z / (3z - 1). Men andra termen är svårare ( 4*(1/2)^n * u[n-1] )

Tidsförskjutningen ställer till det. Har ingen tabell för det och ser inget mönster i det övh.

Se tex dessa tre länkar:

http://www.wolframalpha.com/input/?i...nitstep%5Bn%5D
http://www.wolframalpha.com/input/?i...tstep%5Bn-1%5D
http://www.wolframalpha.com/input/?i...tstep%5Bn-2%5D

Helt olika! Hur ska man gå tillväga för att transformera godtyckliga termer i samma stil?

4·(1/2)^n·u[n - 1] = 2·(1/2)^(n - 1)·u[n - 1]

Använd nu regeln att x[n - k] ↔ z^(-k)·X[z] och samma regel du använde förut, givet att x[n] ↔ X[z]

2·(1/2)^(n - 1)·u[n - 1] ↔ 2·z^(-1)·z/(z - 1/2) = 4z^(-1)·z/(2z - 1) = 4/(2z - 1) och detta för |z| > 1/2, glöm inte bort att hålla koll på ditt konvergensområde!

Aha, enligt tabell så blir a^n*u[n] => z/(z-a) ja. Tricket är alltså att få n lika både utanför och innanför u[] vilket då gör att man kan använda den regeln även här, smidigt!

Tack så mycket! Har en snabb följdfråga också om det går för sig. Man ska ta fram en differensekvation för systemet och jag har ingen aning om vad det kan tänkas vara.

En differensekvation är tex
f(z-a) + f(z) = A

Dessa är lätta att lösa med tex Z-transformer.

Alltså, om man z-transformerar h[n] får man H(z) = 3z / (3z-1) + 4z / (2z-1)

Hur får jag en differensekvation utifrån detta?

H(z) = [3z(2z-1) + 4z(3z-1)] / [(3z-1)*(2z-1)] = [6z^2-3z+12z^2-4z] / [6z^2-5z+1]

(6z^2-5z+1)*H(z) = 18z^2 - 7z

Transformerar vi tillbaka får vi:
6*h(n+2) - 5*h(n+1) + h(n) = 18*d(n+2) - 7*d(n+1)

förutsatt att h(1) = h(0) = 0
d() är Diracs deltafunktion.

Du kan få en annan differensekvation genom att bara multiplicera över en av termerna (3z-1) och (2z-1) till vänsterledet.

Kom ihåg att z-transformen av h(n+m) = z^m H(z) - h(m-1)*z^1 - ... - h(0)*z^(m-1)

Tack så mycket!