En uppgift om algebra

A chemical factory produces three different checmila products; A, B and C. Each product must be processed by two different rpcoessing lines; X and y. Line X is available 80 hours per week and line y is available 60 hours per week. Find the weekly production of each checmical such that both lines work up to their maximum capacity.

Producing chem A requires 2 hours in line x plus 2 hours in line y.
Producing chem b req 3 hours in x plus 2 in lin y.
Chem C req 4 hours in line x plus 3 hours in line y.

Då skrev jag väl det mest bara som


a(2x+2y) + b(3x+2y)+c(4x+3y)=80x + 60 y.

Och sen då ?

Två saker:

1. X och Y är inga variabler, det är ju helt enkelt namn på banden. Om något så får du kalla ekvationerna för Ekvation X och Ekvation Y.

2. Du har slagit ihop båda banden till en enda ekvation trots att du har tillräckligt med information för att teckna en ekvation för varje band. På detta sätt har du förlorat information och möjligtvis ändrat lösningsmängden. För att hitta tre obekanta behöver vi i vanliga fall just tre oberoende ekvationer, men i detta fall (endast två ekvationer) kan en entydig lösning möjligtvis vara möjlig ändå tack vare kravet att A, B och C ska vara heltal (detta skulle i alla fall jag anta). I annat fall kan det finnas flera möjliga lösningar.

Mitt förslag:

X: 2A + 3B + 4C = 80
Y: 2A + 2B + 3C = 60

Om man förenklar detta borde man kunna få ett mer explicit samband mellan antalen A, B och C.

(Och som vanligt vid den här tiden: med reservation för kvällströtthet!)

Förenkla :S? Du har ju inga siffror? Du ska ju få en sjysst mix?

Förenkla innebär inte att stoppa in siffror istället för bokstäver. Försök t.ex. att lösa ut A och B uttryckt i C, eller liknande.

Förlåt, jag är lite trög. Förstår inte riktigt. Skulle någon kunna lösa uppgiften så förstår jag förloppet! Vore sjukt tacksam!

2A + 3B + 4C = 80
2A + 2B + 3C = 60

<=>

2A + C = 20
B + C = 20

<=>

A = 0.5(20 - C)
B = 20 - C

Villkoret att A, B och C måste vara naturliga tal ger nu: C =< 20 och C jämt. Annars skulle A och B bli negativa, respektive A ett bråktal. Alltså borde det finnas 11 olika lösningar.