Tva trigonometriska problem

Jag har problem med foljande tva uppgifter. Tacksam for svar!

2. Om tanv = −1/6 vilka värden har då sin2v och cos2v?
Svaren kan skrivas som sin2v= a/b och cos2v=c/d där a/b och c/d är förkortade bråktal.

Pythagoras sats => 1^2 = a^2 + 6a^2 => 7a^2 = 1 => a² = 1/7 => a = V(1/7) = 1/V7

Vilket ger: x = 6/V7 och y = - 1/V7

cos2v = cosv^2 – sinv^2
=> 36/7 – 1/7 = 35/7

sin2v = 2cosvsinv
=> 2*(6/V7)*(-1/V7) = 2*(-6/7) = -12/7

Jag anger svaret sin2v = -12/7 och cos2v = 35/7, men far fel svar. Var nagonstans gor jag fel?

--------------------------------------------------------------------------------------------

3. Bestäm konstanterna A, B och C så att formeln (cosx+5sinx)^2 = Acos2x + Bsin2x + C gäller för alla x. Konstanterna A, B och C är heltal.

VL = (cosx + 5sinx)^2 = (cosx*cosx) + 25*(sinx*sinx)

HL = cos2x + sin2x = ((cosx*cosx) – (sinx*sinx)) + (2*(sinx*cosx)) =>

(cosx*cosx) + 25*(sinx*sinx) = ((cosx*cosx) – (sinx*sinx) + (2*(sinx*cosx)) =>

Efter att ha strykt (cosx*cosx) och (sinx*sinx) blir det kvar:

25 = - 2*(sinx*cosx) => -25/2 = sinx*cosx

Sen vet jag inte hur jag ska ga vidare.

För den andra uppgiften:


Det där är fel, du har glömt korstermen.

VL = (cosx + 5sinx)^2 =(cosx)^2 + 25 (sinx)^2 + 10 cosx sinx = 1 + 24 (sinx)^2 + 5 sin 2x

Använd sedan formeln för dubbla vinkeln

cos2x = (cosx)^2 + (sinx)^2 = 1 - 2 (sinx)^2
-> sin(x)^2 = (1-cos2x)/2

Sätt in det i uttrycket och förenkla

Uppgift 2. Du vet längden på sidorna av den rätvinkliga triangeln. Räkna ut hypotenusan och vips så kan du räkna ut motsvarande cos(v) och sin (v). Därefter vet du: sin2v=2*sinv*cosv och
cos2v=cos^2(v)-sin^2(v). Så tex. sin2v borde vara 12/37.

Uppgift 3. Om du prövar x=0, x=pi/2 och x=pi/4 så får du ett ekvationssystem. Löser du detta fås a=-12 b=-4 och c=13.

Du har sa ratt, jag gjorde fel vid kvadreringen. Efter att ha gjort kvadreringen far jag (precis som du) ut:

(cosx + 5sinx)^2 = (cosx)^2 + 10*(cosx*sinx) + 25(sinx)^2

Efter det forstar jag inte hur du har fatt ut 1 + 24 (sinx)^2 + 5 sin 2x. Sen forstar jag inte hur jag ska gora pa slutet heller, hur ska jag satta in det i uttrycket? Hade du kunnat gora uppgiften i fler steg och visa hur jag ska gora pa slutet ocksa. Stort tack!

Kan du ga igenom i detalj hur du gor detta? Jag forstar inte hurdant man ska ga tillvaga. Jag reder inte ut din forklaring till uppgift 2 heller. Kan du skriva ut hur du gar tillvaga mer detaljerat. Tack pa forhand!

(cosx+5sinx)^2=cos^2(x)+10sin(x)cos(x)+25sin^2(x)= cos^2(x)+25sin^2(x)+5sin(2x)
vilket vi fortsätter skriva om till:

cos^2(x)+25sin^2(x)+5sin(2x)=cos^2(x)+25(1-cos^2(x))+5sin(2x)
vi fortsätter:

cos^2(x)+25-25cos^2(x)+5sin(2x)=-24cos^2(x)+25+5sin(2x)=-12(2cos^2(x))+25+5sin(2x)
slutligen:

-12(cos(2x)+1)+25+5sin(2x)=-12cos(2x)-12+25+5sin(2x)=-12cos(2x)+13+5sin(2x)

Tack for ett mycket fint och strukturerat svar! Jag forstar allting forutom en omskrivning, kan du uppdatera mig pa vilken regel det ar som anvands. Omskrivningen ar:

-12(2cos^2(x)) + 25 + 5sin(2x) = -12(cos(2x)+1) + 25 + 5sin(2x)

Alltsa, hur gjorde du om termen (2cos^2(x)) till cos(2x), och vad kom +1 ifran? Tack for hjalpen!

Jag har kommit lite langre pa den forsta uppgiften:

Pythagoras sats => 1^2 = a^2 + 6a^2 => 7a^2 = 1 => a² = 1/7 => a = V(1/7)

y = -1*(1/(V7)) = -1/V7
x = 6*(V1/(V7)) = V6/V7

Vilket ger: x = V6/V7 och y = - 1/V7

Sedan formeln for dubbla vinkeln:

cos2v = cosv^2 – sinv^2

=> 6/7 – 1/7 = 5/7

sin2v = 2sinvcosv

=> 2*(V6/V7)*(-1/V7) = (-2*V6)/7 = ?

Svaret ska kunna skrivas i heltal, alltsa ar inte -2*V6 korrekt. Var nagonstans gor jag fel?

cos(2x)=cos(x+x)=cos(x)cos(x)-sin(x)sin(x)=cos^2(x)-sin^2(x)

Utnyttja att cos^2(x)+sin^2(x)=1 som skrivs om till cos^2(x)-1=-sin^2(x)

Nu har vi:

cos(2x)=cos^2(x)+cos^2(x)-1=2cos^2(x)-1

Alltså cos(2x)=2cos^2(x)-1 som skrivs om till cos(2x)+1=2cos^2(x)

sin(2v)=2sin(v)cos(v) och tan(v)=sin(v)/cos(v)=-1/6, alltså sin(v)=-cos(v)/6

sin(2v)=2*-cos(v)/6*cos(v)=-2/6=-1/3

Jag tror att jag forstod. Kan du losa ut cos(v) pa samma satt? Varfor fungerar det inte att gora enligt Pythagroas sats? Som jag gjorde ovan? Borde inte det ocksa ge ratt svar? Tack for hjalpen!

Ändring. Jag far inte ut samma svar som du far.
2*-(cos(v)/6)*cos(v) = -(2cos(v)^2)/6 = -(cos(v)^2)/3. Tanker jag fel?

Ursakta alla fragor, men jag reder inte ut det.

Jag skulle bara ha utnyttjat trigonometriska ettan för att lösa ut cos(v) sedan.