Grahams tal

Samtidigt, känner iallafall jag, är oändligheten lättare att greppa än tal som grahams eller tree(3)...

Jag håller med; konceptet 'oändligheten' är betydligt lättare att förstå än magnituden av Grahams tal. Däremot tror jag folk ofta försöker sätta ett värde på oändligheten och det leder säkert till stor förvirring.

Vad jag har förstått så är kruskals tree lite mer invecklat än att bara använda accermanfunktionen fler gånger. Men men..mina mattekunskaper är obefintliga.

Sen tror jag att det är Friedmans tree som är det största talet, att Friedman använde sig av Kruskals tree för att göra detta enorma tal. Men någon får gärna bringa klarhet i det hela då jag är helt vilsen. Är det ett nytt Guinnesrekord?

Visst är det så. Kruskals TREE är inget tal utan en mycket snabbt växande funktion, som inte verkar vara så lätt att begripa. Det jag beskrev är funktionens värde vid x=3 och bara en illustration på hur snabbt funktionen växer, bara TREE(3) är större än grahams tal.

Jag kan ett stort tal: TREE(G64) där G64 är Grahams tal.

När vi ändå är inne på stora tal:

Låt mig presentera Oddman84's tal; O!





Första steget i Oddman84's tal (o1) är alltså Grahams tal (G) följt av G antal pilar i enlighet med Knuth's "upp-pils-notation", följt av G. Alltså: Istället för att som första steget i Grahams tal vara en 3:a följt av tre pilar, följt av en trea, börjar alltså Oddman84's tal: G, följt av G antal pilar följt av G - samma princip, helt annan storleksordning. Och istället för att som i Grahams fall innehålla 64 steg, innehåller detta tal, G antal steg. Det andra steget - o(2) - innehar således summan av o(1) i antalet pilar. Så fortsätter det uppåt i G antal steg, till vi når O.



Men sådana här lustigheter åsidosatta tycker jag lite av charmen med G är att jag i alla fall nästan kan smaka på det första stegets storlek (g1; 3↑↑↑3). Det är den känslan som infinner sig när man inser att detta enorma tal anger antalet på den operation som blåste upp det första talet till ofantlig storlek med blott tre pilar som är intressant. Och den känslan får man inte riktigt med O.

Oddman84s tal vs föregående talares tal: TREE(g64)... hmmmm jag tror TREE(g64) vinner med mycket fet marginal

Men jag vet inte!

Aha! Låt oss då skapa lite nya tal

Vi börjar med P.

P är lika med det tal vi får, om vi istället för G i min föregående post sätter in O i alla steg.


Tänk dig nu att vi låter denna operation genomgå ytterligare iterationer (återupprepningar); P sätter vi alltså in istället för O i ovanstående exempel och får ut Q, och så håller vi på. Varje upprepning ger förstås ett obegripligt mycket större tal.

Låt oss säga att vi håller på så 'Oddman84's tal'-antal gånger. Det sista talet vi erhåller kan vi kalla Super-O.

Super-O är nog ett ganska stort tal! Större än TREE(g64)? Inte en susning

g1 är 3↑↑↑↑3, alltså fyra pilar, men jag håller med, tjusningen med grahams tal är att man kan iaf greppa proceduren med ett exponenttorn med 3or härifrån till månen, där bara de översta 5 treorna genererar 3^(3^7625597484987). Det är när man lägger till en fjärde pil som det brister för mig. En femte vågar jag inte ens tänka på, och då är det mååånga pilar kvar.

Ett sätt att väldigt snabbt få mycket stora tal utan att använda Tree, Busy Beaver eller andra funktioner som ingen egentligen vet värdet på är att använda conway's chained arrow notation. Som ett exempel är Grahams tal ungefär 3→3→64→2. Jag skulle gissa på att bara 3→3→3→3→3→3→3 är mycket större än ditt super-O, men någon som är duktig på conway's får gärna förklara hur den funkar för den är knepig.

Ah, givetvis. Alltid är det någon detalj som blir fel!

Precis! Man hänger med i tre pilar, kan greppa talet, men sedan blir det metaforiskt med den fjärde. Det känns ändå som att man nästan kan nå någon sorts känsla för det. Men sedan? Det blir bara tomt. Ja, för att inte tala om övergången till det andra steget i Grahams tal; g2. Det blir så ogripbart!


Haha, ja fy sjutton! Tänk att någonting som ser så oskyldigt ut kan, när det "vecklas ut", bli så absurt stora tal vi inte ens kan föreställa oss dem. Fascinerande även för en icke-matematiker!

Kul med en till som är intresserad av stora tal! Detta har fascinerat mig under en tid nu.

Ytterligare en (om inte hjärnan har sprängts ännu) är Jonathan Bowers exploding array function. Han använder flera dimensioner på sina "array's" och denna notation får conway's notation att verka som en fis i rymden.

Länk

Spännande! Förstod inte mycket, men en del tror jag (bilden hjälpte!) Jag gillar även slutet på artikeln - det kunde inte misstolkas i alla fall

Men i grund och botten, handlar detta om att istället för att som i Grahams tal, där 3:an trots allt endast är en helt vanlig trea, så behöver även de utskrivna siffrorna här "vecklas ut" i rader, torn och vidare upp i dimensioner? Det vill säga, både "siffror och pilar" (även om denna notation förstås ser annorlunda ut) gömmer en inre "dimension" som behövs vecklas ut, och inte bara själva pilarna som i Grahams tal?

..jag får nog läsa igenom länken en gång till!

Ja, det är ungefär så långt jag har kommit i att förstå hur det funkar. Det blir väldigt abstrakt med multidimensionella rum som dessa arrays finns i (i vissa fall består de av 10^100 eller ännu fler dimensioner). Jag tror ändå att Bowers vinner, och om du någon gång vill vinna i leken "vem kan skriva det största talet" så vinner du nog med marginal om du använder exploding array function.

Grahams tal är fortfarande min favorit dock!

För att återgå till topic och göra en jämförelse med Grahams tal och permutationer av planckvolymer, bear with me, detta kommer bli intressant:

Antalet treor i exponenttornet som skapas av 3↑↑↑3 är 7 625 597 484 987. Medelavståndet till månen är 384 400 km = 384 400 000 000 mm. Så om varje trea är endast

384 400 000 000/ 7 625 597 484 987 = 0,05 mm hög så räcker treorna i detta exponenttorn härifrån till månen. Exponenttorn är alltså 3^(3^(3^(3... osv. Man börjar från toppen och får:

3^3=27
3^3^3 = 3^27 = 7 625 597 484 987

3^3^3^3 = 3^7 625 597 484 987. Detta är grovt räknat ungefär 10^3 000 000 000 000. Som jämförelse var antalet planckvolymer i universum 10^192 som entr0pi skrev.

3^3^3^3^3 ≈ 3^ (10^3 000 000 000 000) ≈ 10^(10^3 000 000 000 000) (eftersom basen knappt spelar någon roll i högre exponenttorn). Som jämförelse är antalet permutationer av alla planckvolymer i universum enligt entr0pi 10^(10^290)

Detta var alltså endast de översta 5 treorna som sträcker sig 0,25 mm från månens yta, och för varje steg ner blir talet oerhört mycket större. Talet man får när man äntligen har kommit ner till jorden är alltså 3↑↑↑3.

För att få första termen i Grahams tal (tolkat från wikipedia) som är 3↑↑↑↑3, låter man 3↑↑↑3 vara antalet torn i följande sekvens:

Första tornet: 3
Andra tornet: 3^3^3 = 7 625 597 484 987
Tredje tornet: 3^3^...^3 med 7 625 597 484 987 treor. Detta är alltså redan talet 3↑↑↑3.
Fjärde tornet: 3^3^...^3 där antalet treor är 3↑↑↑3
Femte tornet: 3^3^...^3 där antalet treor är talet man får ut från det fjärde tornet.
Osv osv tills man kommer till det 3↑↑↑3:e tornet (!) som är g1, alltså första termen i Grahams tal.

Som alla vet består den andra termen g2 av 3↑↑...↑3 med g1=3↑↑↑↑3 pilar. Om någon (förmodligen inte ens Graham själv) ens har en susning om hur stor första termen 3↑↑↑↑3 är, tappar de definitivt all uppfattning här. Detta repeteras sedan 63 gånger för att få g64=Grahams tal.

För att återgå till TS fråga om Grahams tal är större än antalet permutationer av planckvolymer i universum: JA Det slogs med råge redan i de första fem treorna i det "fjuttiga" talet 3↑↑↑3