MaD - lite osäker på derivering av e^ funktioner

Hej, NP imorgon och känner att jag har hyfsad koll på det mesta men när det kommer till derivering av e^blabla är jag inte helt hemma.

Jag undrar om det finns en bra regel för när man ska använda kedjeregeln/produktregeln och när man bara kan multiplicera med konstanten(e^kx = k*e^kx) för jag blir alltid nervös då.

Typ 2e^(3x^2-5)? Är derivatan då 2e^(3x^2-5)*6x eller har jag fel?

Och ett exempel från ett gammalt NP: x^2*e^3x , får panik när det kommer uppgifter där man skall multiplicera in "e^någonting" med andra variabler

Det är alltid kedjeregeln som gäller här.

Sätt f(x) = e^(g(x))

Då är f'(x) = g'(x)e^(g(x))

Det är produktregeln och kedjeregeln du behöver komma ihåg

Produktregeln:
(fg)' = f'g + fg'

Kedjeregeln:
(f(g(x))' = f'(g(x))g'(x)


Att applicera detta på exponentialfunktionen är särskilt enkelt eftersom De^x = e^x

Om du har en funktion g(x) istället för x använder du kedjeregeln:

De^g(x) = e^g(x)*D(g(x))

t.ex blir

De^kx = e^kx*D(kx) = ke^kx


Om du har en funktion g(x) multiplicerad med e^x använder du produktregeln:

Dg(x)e^x = Dg(x)e^x + g(x)De^x = e^x(Dg + g)


Dit exempel från NP, x^2*e^3x, om du ska derivera detta använder du alltså produkt och kedjeregeln.


Dx^2*e^3x = D(x^2)e^3x + x^2D(e^3x)

= 2xe^3x + x^2e^3x*D(3x)

= e^3x(2x + 3x^2)


Ett till exempel:

Beräkna tredjederivatan av x^5e^(3x)

D(x^5e^(3x))

= D(x^5)e^(3x) + x^5D(e^(3x))

= 5x^4*e^(3x) + x^5*3e^(3x)

= e^(3x)(5x^4 + 3x^5)

Andraderivatan:

De^(3x)(5x^4 + 3x^5)

= e^(3x)( (20x^3 + 15x^4) + 3(5x^4 + 3x^5) )

= e^(3x)( 9x^5 + 30x^4 + 20x^3 )

Tredjederivatan:

De^(3x)( 9x^5 + 30x^4 + 20x^3 )

= e^(3x)( (45x^4 + 120x^3 + 60x^2) + 3( 9x^5 + 30x^4 + 20x^3 ) )

= e^(3x)( 27x^5 + 135x^4 + 180x^3 + 60x^2 )


Som du ser är det enkelt att derivera produkter innehållandes e^( ) eftersom du hela tiden får en faktor av e^( ) och den inre derivatan.

Missade denna. Här är det så klart produktregeln.

Det bästa tips jag kan ge dig, både när det handlar om kedjeregel och produktregel, är att skriva upp saker och ting i allmän form. Säg att du tex ska derivera x*e^(x²). Då kan du göra på följande sätt:

Produktregeln säger:
(d/dx)f(x)g(x)=f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
Sätt f(x)=x
Sätt g(x)=e^(x²)
f'(x)=1

För att räkna ut g'(x) behöver vi kedjeregeln som säger:
(d/dx)g(h(x))=h'(x)g'(h(x))
g(h(x))=e^(h(x))
h(x)=x²
h'(x)=2x
g'(h(x))=e^(h(x))
g'(x)=2x*e^(x²)

Insättning i resultatet från produktregeln ger:
(d/dx)f(x)g(x)=e^(x²)+x*2x*e^(x²)=(1+2x²)e^(x²)

Bara för att förtydliga. Det är särskilt enkelt att applicera detta på de specifika exponentialfunktioner som har basen e. (Däremot går det ju lätt att omvandla m.h.a. a^x=e^(x*ln a) )

Det är korrekt, men när man talar om "exponentialfunktionen" är det alltid e^x som åsyftas, dock tror jag inte man känner till det när man läser Ma D så en tydlig förklaring är helt klart befogat.

Aha. Personligen har jag aldrig hört det.