Lagranges multiplikatormetod. (Optimering i två variabler med bivillkor)

Kan någon vänlig själ kolla detta?

Bestäm största värdet för funktionen [;f(x,y)=x^2+y^2+xy;] i området [;x^2+y^2 \leq 1;].

Man kan snabbt kolla att derivatorna är noll endast i origo där funktionen antar värdet 0. Största värde finns alltså kanske på randen

[;g(x,y)=x^2+y^2=1;].

Jag tänkte därför enligt Lagranges metod utnyttja att maximum återfinns där

[;f'_xg'_y-f'_yg'_x=0;]

alltså där

[;(2x+y)2y-(2y+x)2x=0;]

eller

[;y^2=x^2;].

Insatt i bivillkorsekvationen ger detta att maximum återfinns i

[;\left( \frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2}\right);]

och maximum är alltså 3/2.

Det känns inte som att jag kan ha gjort fel men facit säger något helt annat.


Jag använder latex greasemonkeyscript: http://thewe.net/tex/textheworld7.user.js

Vi sätter
[; h(x, y; \lambda) = (x^2+y^2+xy) + \lambda (x^2+y^2-1) ;]

Nu skall gälla
[; \begin{cases}
0 = \partial h/\partial x = 2x + y + \lambda 2x = 2(1+\lambda)x + y \\
0 = \partial h/\partial y = 2y + x + \lambda 2y = 2(1+\lambda)y + x \\
0 = \partial h/\partial\lambda = x^2 + y^2 - 1
\end{cases} ;]

De två första ekvationerna har förstås lösningen x = y = 0, men detta ger ingen lösning till tredje ekvationen.

Andra lösningar finns endast om
[; 0 = \left| \begin{array}{cc}
2(1+\lambda) & 1 \\
1 & 2(1+\lambda)
\end{array} \right| =
4(1+\lambda)^2 - 1
;]
dvs om
[; \lambda = -3/2 ;]
eller
[; \lambda = -1/2 ;].

Fallet [; \lambda = -3/2 ;] ger
[; \begin{cases}
0 = \partial h/\partial x = 2x + y + \lambda 2x = -x + y \\
0 = \partial h/\partial y = 2y + x + \lambda 2y = -y + x \\
0 = \partial h/\partial\lambda = x^2 + y^2 - 1
\end{cases} ;]
med lösningarna x = y som insatt i tredje ekvationen ger
[; 0 = 2x^2 - 1 ;]
dvs
[; x = \plusminus 1/\sqrt{2} ;]
med
[; f(x) = 1/2 + 1/2 + 1/2 = 3/2 ;]

Fallet [; \lambda = -1/2 ;] ger
[; \begin{cases}
0 = \partial h/\partial x = 2x + y + \lambda 2x = x + y \\
0 = \partial h/\partial y = 2y + x + \lambda 2y = y + x \\
0 = \partial h/\partial\lambda = x^2 + y^2 - 1
\end{cases} ;]
med lösningarna x = -y som insatt i tredje ekvationen ger
[; 0 = 2x^2 - 1 ;]
dvs
[; x = \plusminus 1/\sqrt{2} ;]
med
[; f(x) = 1/2 + 1/2 - 1/2 = 1/2 ;]

På randen får jag alltså max till 3/2 och min till 1/2.


I det inre får jag
[; \begin{cases}
0 = \partial f/\partial x = 2x + y \\
0 = \partial f/\partial y = 2y + x \\
\end{cases} ;]
med den triviala lösningen x = y = 0 som ger f(x, y) = 0.

Icke-triviala lösningar finns om
[; 0 = \left| \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{array} \right| = 3 ;]
vilket aldrig uppfylls.


Vad säger facit?

Nu vet jag inte om någon explicit vill lösa den med Lagrange, men finns ju metod att lösa utan. Notera att eftersom f(x,y) = x^2+y^2+xy innehåller kvadratiska termer och området är x^2+y^2 <= 1 så om vi parametriserar enligt:

x = r cos v
y = r sin v

0 <= r <= 1, 0 <= v <= 2pi så övergår funktionen f(x,y) -> f(r,v) på formen:

f(r,v) = r^2 + rcos(v)rsin(v) = r^2 + r^2*cos(v)sin(v) = r^2*(1+cos(v)sin(v)) = r^2*(1+sin(2v)/2). Härifrån ser man att största värdet erhålls då r = 1 och sin(2v) = 1. Detta motsvarar att 2v = pi/2 + 2pi*n vilket ger v = pi/4 + pi*n varför v = pi/4 eller v = 5pi/4. Insatt i gamla koordinater ger:

r = 1 och v = pi/4
x = 1*cos(pi/4) = sqrt(2)/2
y = 1*sin(pi/4) = sqrt(2)/2

r = 1 och v = 5pi/4
x = 1*cos(5pi/4) = -sqrt(2)/2
y = 1*sin(5pi/4) = -sqrt(2)/2

Således är funktionen maximal för (x,y) = (sqrt(2)/2,sqrt(2)/2),(-sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2).

Där antar funktionen värdet 3/2 som är största värdet. Med hjälp av bytet till polära koordinater har vi ju sett att funktionen blir på formen f(r,v) = r^2*(1+sin(2v)/2) som inte kan ha ett större värde än 3/2.

(Jag ser inget fel som jag gjort i alla fall, men är trött :P)

Man kan även rotera koordinatsystemet.

Sätt u = (x+y)/√2, v = (x-y)/√2.

Då kan vi skriva x^2 + y^2 + xy = (3/2)u^2 + (1/2)v^2, och randen blir u^2 + v^2 = 1.

Härur kan man direkt utläsa max = 3/2 och min = 1/2 på randen.

Du har alltså kommit fram till

[;\begin{cases}g(x,y)=x^2+y^2=1, \\
y^2=x^2.\end{cases};]

Vilket ger

[;2x^2=1\quad\iff\quad x^2=1/2\quad\iff\quad x=\pm 1/\sqrt{2};]

och

[;y^2=x^2\quad\iff\quad y=-x.;]

Detta är fyra punkter:

[;\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right ),\quad
\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right),\quad
\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right),\quad
\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).;]

Sätt in dessa i

[;f(x,y)=x^2+y^2+xy,;]

vilket ger respektive värden

[;\frac{3}{2},\quad
\frac{1}{2},\quad
\frac{3}{2},\quad
\frac{1}{2}.;]

Alltså är funktionens största värde 3/2 i de två punkterna

[;\pm\left(\frac{1}{\sqrt{2}},
\frac{1}{\sqrt{2}}\right).;]

Tänk på att

[;\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{ 2}}=\frac{\sqrt{2}}{2};]

så facit kanske skriver punkterna som

[;\pm\left(\frac{\sqrt{2}}{2},
\frac{\sqrt{2}}{2}\right).;]

Jag tar det som kvitto på att det var fel i facit då. Tack ska ni ha! Där ett tag trodde jag att jag hade fått en hjärnblödning eller nåt.

Facit säger

[; \frac{2\sqrt2-1}{2(\sqrt2-1)};]