Hjälp med uppgifter i flerdimensionell analys

Tjena!
Har suttit och försökt ett par timmar nu med två uppgifter på en extenta i flerdim.
Om någon vänlig själ har lust att hjälpa till hade jag verkligen uppskatat det.
Tentan finns på: http://www.maths.lth.se/media/exams/...2011-05-04.pdf
Och uppgifterna det handlar om är: 4a och 6.

Tack på förhand!

Fysik, matematik och teknologi -> Naturvetenskapliga uppgifter

/Mod

4: Parametrisera. Identisk uppgift hittar du här.

6: Riktningsderivatan maximeras i gradientens riktning. Det du söker att maximera är alltså:

∇f(x, y) • ∇f(x, y) / |∇f(x, y)|

Men eftersom |∇f(x, y)| inte ändrar riktningen behöver inte denna vara med i själva undersökningen (men självklart senare när du har fått fram ditt maximum).

f(x, y) = xy^(3/2)

∇f(x, y) = (y^(3/2), 3/2·xy^(1/2))

g(x, y) ≡ ∇f(x, y) • ∇f(x, y) = y^3 + 9/4·x^2y

Vi ska nu finna maximum för:

g(x, y) = y^3 + 9/4·x^2y
h(x, y) = x^4y^2 + y^4 = 5/8
k(x, y) = y ≥ 1/2

Lös detta på valfritt sätt, bäst är väl att använda gradienten av funktionen och bivillkoren och använda den metoden.

Värt att poängtera är att:

∇f(x, y) • ∇f(x, y) / |∇f(x, y)| = |∇f(x, y)|²/|∇f(x, y)| = |∇f(x, y)|

Men för att slippa rottecken när vi maximerar detta väljer vi istället att maximera längden i kvadrat.

g(x, y) = ∇f(x, y) • ∇f(x, y) = |∇f(x, y)|²