Tankar kring Faradays induktionslag

Här är min situation: http://tinypic.com/r/2j3nqcx/6

Jag ska bestämma den inducerade spänningen i det ögonblick då slingans undersida är på avståndet y0 från z-axeln.

Jag vet att € kan bestämmas på två olika sätt, beroende på hur situationen är:

1) Om slingan är rörlig, och magnetfältet tidsoberoende, beräknas den inducerade spänningen genom linjeintegralen av v x B på kurvan.

2) Om slingan är fast och magnetfältet tidsvarierande, beräknas den inducerade spänningen genom tidsderivatan av ytintegralen av B i slingan.

Men vilken situation är det jag har här? Slingan rör sig ju, no doubt. Men magnetfältet beror ju av avståndet till ledaren och är således olika starkt på olika avstånd vilket jag tycker man kan se som att magnetfältet är tidsvarierande; slingan kommer ju känna av ett starkare magnetfält ju längre tiden går, dvs desto närmre ledaren den kommer?

Magnetfältet från ledaren ges av

B = μ0I0/(2πr)(-x)

(alltså riktat i negativ x-led).

Metod 1. Låt potentialen vara 0 i nedre vänstra hörnet och låtsas att vi gör ett litet brott i slingan här. Tar vi v x B på nedre delen av slingan fås

-vy x μ0I0/(2πy0)(-x) = - μ0I0v/(2πy0)z

och linjeintegralen för denna del blir

V1 = - μ0I0va/(2πy0)

vilket är potentialen i nedre högra hörnet. Eftersom sidorna parallella med y inte skär magnetfältet bidrar de inte till inducerade spänningen (vi integrerar i y-led men fältet har ingen komponent i y-led). Potentialen i övre högra hörnet är alltså V1. Tar vi v x B på övre delen av slingan fås

-vy x μ0I0/(2π(y0+a))(-x) = - μ0I0v/(2πy0)z

och linjeintegralen för denna del blir

V2 = μ0I0va/(2π(y0+a))

eftersom vi integrerar antiparallellt med z. Potentialen i övre vänstra hörnet är alltså V1 + V2 vilket är lika med potentialen i nedre högra hörnet. Alltså är inducerade spänningen

ε = V1 + V2 = -μ0I0va/(2π)(1/y0-1/(y0+a)).

Låt oss se vad som händer om vi kör på metod 2.

Metod 2. Magnetfältet vid en punkt i slingan på avstånd y är

B = μ0I0/(2πy)(-x)

Normalen till slingas yta är dS = xdydz Ytintegreras detta från y = r0 till y = r0+a (och över en längd a i x-riktningen) fås flödet

Φ = ∫B*dS = -μ0I0a/(2π)∫dy/y = -μ0I0a/(2π)*(ln(r0+a) - ln(r0)).

Flödet förändras med tiden eftersom r0 förändras med tiden. Vi har dr0/dt = -v (eftersom avståndet minskar med farten v) och alltså blir inducerade spänningen vid r0 = y0

ε = dΦ/dt = (∂Φ/∂t)(dr0/dt) = -μ0I0a/(2π)(1/(y0+a) - 1/y0)*(-v) = -μ0I0va/(2π)(1/y0 - 1/(y0 + a)).

Alltså fås samma resultat.

Din fundering är dock mycket intressant. Läs under "Faraday's law as two different phenomena" och känn dig som Einstein...

http://en.wikipedia.org/wiki/Faraday's_law_of_induction

Tack för ett bra svar. Den första metoden tycker jag känns mest intuitiv.

I min formelsamling står det att € = metod 1 + metod 2 = -d(Phi)/dt (inte partiella derivator där alltså).

När måste man använda den här, och när "slipper" man?

Jag vet egentligen inte riktigt vad jag famlar efter. Tycker helt enkelt det är lite oklart när vilken metod ska användas, när kan man använda både med samma svar och när måste man kombinera båda? Om jag skulle använda båda metoder och lägga ihop dem skulle jag ju få ett dubbelt så stort flöde, eftersom både metoder ger samma flöde. Förvirrad.

Den partiella derivatan följer av kedjeregeln som jag använder

dΦ/dt = (∂Φ/∂r0)(dr0/dt)

men jag ser att jag skrev ∂t istället för ∂r0.


Du kan givetvis inte kombinera metoderna. I detta fall svarar de två metoderna mot två olika referenssystem där endera slingan eller den raka ledaren rör sig.