Dubbelintegral med polära koordinater

Sitter och klurar lite på en uppgift.

∫∫ 25 - (x-2)² - (y+3)² dxdy

Känns ju då rätt lämpligt att göra om detta till polära koordinater eftersom r varierar från 0 till 5 och Θ varierar från 0 till 2pi.

Men enligt facit så görs variabelbytet x-2=rcosΘ och y+3=rsinΘ. Kan man göra så? Är det inte smartare att sätta x=rcosΘ och y=rsinΘ enligt definition? Eller tjänar man något på att göra det andra variabelbytet? Man lär väl få samma svar?

Gör du det enligt facit föreslagna bytet så blir integranden 25 - (rcosΘ)² - (rsinΘ)² = 25 - ((rcosΘ)² + (rsinΘ)²) = 25 - r²(cos²Θ + sin²Θ) = 25 - r² som bara beror av r.

Med det vanliga bytet så blir den istället 25 - (rcosΘ - 2)² - (rsinΘ + 3)² = 25 - r²cos²Θ - 4rcosΘ + 4 - r²sin²Θ + 6rsinΘ + 9 = 38 - r² - 4rcosΘ + 6rsinΘ som beror av både r och Θ och därför är svårare att integrera.

Men visst borde man få fram samma svar tillslut? Fast borde inte gränserna bli annorlunda beroende på vilket sett man väljer? Har jag förstått det rätt att om man enligt facits variabelbyte centrerar cirkeln kring origo, och genom mitt byte är det centrerat kring (2,-3)? Så gränserna måste väll bli annorlunda?

Samma svar bör det ju absolut bli. Men är inte cirkelcentreringen du nämner tvärtom? Att det vanliga variabelbytet centrerar den kring origo, och facits variabelbyte centrerar den kring (2, -3)? Hursomhelst bör gränserna bli annorlunda, ja.

Mitt resonemang utgick från att facit hade satt gränserna till just r från 0-5 och täta från 0-2pi. Och det går väll bara om cirkelskivan är centrerad kring origo?

Öh, nä? r = 0 är ju bara centrum i cirkeln, oavsett var den är centrerad med hänsyn till koordinatsystemet.

Jo I know, men när man ska integrera ska man väl ändå utgå från origo?

Titta 2.50 in i detta klipp: http://www.youtube.com/watch?v=sQM-8Oj4Ecg

Om jag inte missuppfattat dig helt så har du inte berättat över vilket område du ska integrera!

Kan ju länka hela uppgiften ist.

Uppgift 6: http://www.mai.liu.se/~vitja/kurser/TAIU01/lsg0508.pdf

Cirkeln i klippet är ju inte heller centrerad runt origo?

Om du har en cirkel som ligger så att origo inte befinner sig innanför cirkeln, och du använder polära koordinater som utgår från origo (x = r cos t, y = r sin t), så går vinkeln t inte från 0 till 2 pi.

Men det som facit föreslår (x-2 = r cos t, y+3 = r sin t) motsvarar en translation av området så att cirkelns centrum hamnar i origo.

Det var det jag antog då. Men ponera att jag bara skulle göra variabelbytet x=rcosv och y=rsinv, hur skulle gränserna bli då?