Snabbt matteproblem

"Uppgift 1. Beskriv först områdena i deluppgifterna med hjälp av villkor på formen
f(x) <= y<=  g(x); a <=  x <=  b:
Beskriv sedan också områdena med villkor på formen
h(y) <=  x <= k(y); c <=  y <= d:
Beräkna slutligen dubbelintegralen av funktionen f(x; y) = xy över vart och dessa områden på
vardera två olika sätt. ¨
a) Triangeln med horn i (0 ; -1), (0; 1) och (2; 0)."

Jag undrar då vad gränserna h(y) och k(y), c och d är?

Kontrollera hörnpunkterna igen (du skrev av fel).

Börja med att rita upp triangeln så att du vet vad du håller på med.

Har gjort det massa gånger :/ gränserna som jag fått fram är 0<= x <=2 och x/2-1 <= y <= -x/2 +1
och sedan -1 <= y <= 1
det är bara att jag inte får fram gränserna för h(y) och k(y)

Först och främst, vad är hörnpunkterna? Det kan ju inte vara "(0 ;1), (0; 1) och (2; 0)" eftersom de första två är samma punkt.

oj det ska vara (0, -1), (0, 1) (2,0)

Ok.
En triangel har tre linjer som sidor.
Den här triangeln har en sida (mellan punkterna (0,-1) och (0,1)) som ligger på y-axeln, dvs x=0.
De övriga två linjerna lutar. Börja med att ta fram ekvationerna för dessa linjer.


Gör nu så här:

Om vill integrera med avseende på y först (dvs att den inre integralen ska integreras med avseende på y, och den yttre med avseende på x), fixera ett x och dra en vertikal linje vid x. Den vertikala linjen skär triangelns kanter i två punkter. Vad är y i dessa punkter? Eftersom vi har linjernas ekvationer så vet vi vad y är. Sedan integrerar vi över x, dvs från x=0 till x=2.

Om vi gör tvärtom och vill integrera med avseende på x först så ser vi att vi måste dela upp området i två delar. Eftersom om vi fixerar ett y och drar en horisontell linje så blir den undre gränsen alltid samma, dvs 0 (linjen skär y-axeln, dvs x=0), men den övre gränsen beror på vilket y vi har valt. Är y>0 så kommer den att bestämmas av den övre linjens ekvation och annars av den undre linjens ekvation. Vi får helt enkelt dela triangeln i två områden, där det ena området är den triangeln som vi får när vi bara tittar på området över x-axeln och det andra området blir triangeln vi får om vi bara tittar på området under x-axeln.
Vad är då gränserna? Den undre är noll för båda områdena. De övre får vi om vi löser ut x som en funktion av y är linjernas ekvationer. Sedan integrerar vi över y från 0 till 1 för det övre området och från -1 till 0 för det undre området.

10 + 10 = 20

Fysik, matematik och teknologi -> Naturvetenskapliga uppgifter

/Mod

Tackar Det gick kalasbra tack vare dig <3

jag får det till noll när jag tar integralen med avseende på y ? S

Om vi bekymrar oss om vilken funktion som skulle integreras så var det f(x,y) = xy enligt TS. Att integralen blir noll inses enkelt (Området är en triangel som är symmetrisk kring x-axeln och f uppfyller f(x,y)=-f(x,-y)).
Om vi ändå utför integrationen så blir den inre integralen 0 om vi börjar med avseende på y.
Om vi delar upp triangel i två delar så att vi kan integrera med avseende på x först så blir blir integralen för den övre triangeln 17/6 och den undre -17/6 (vilket såklart summerar till noll).