Dubbelintegral

ʃʃ 1 / (1 + x^2 + y^2)^2 dx dy


Område:

x>0, y>0 och begränsas av x^4 + x^2y^2 = y^2 och x=y


Planpolära kordinater passar ju på integranden. Men hur får man till det med området då? Vilka gränser skulle man få?

Förslag?

Vinkeln begränsas ju av y=0 och y=x (om jag förstått dig rätt), vilket ger 0<=o<=pi/4

r begränsas av r^4(cos^4 o + sin^2 o cos^2 o) = r^2 sin^2o vilket kan förenklas till r=+-tan(o). Uppenbarligen så är det den positiva lösningen som gäller i det här fallet.

Tack för svar. Tror du förstår min fråga rätt. Men jag får inte till det riktigt.



ʃʃ 1/(1+ r^2) r dr do = -1/2 ʃ [ 1/(1 + r^2) ] do

med gränserna på första integralen 0 till pi/4, och den andra 0 till tan o


= ... -1/2 [ arctan(tan 0) -


Känns som jag är helt ute och cyklar nu.

Förstår inte vad du menar med det sista du skrev, men

ʃ0 till pi/4 do ʃ0 till tan(o) r/(1+r^2)^2 dr
1/2 ʃ0 till pi/4 (1-1/(tan^2(o)+1)) do

osv.

1/(tan^2(o)+1) kan du vid närmare eftertanke skriva om som cos^2 (o) ;

(1/(tan^2(x)+1))
(1/((sin^2(x)/cos^2(x))+1))
(1/((sin^2(x)/cos^2(x))+(cos^2(x)/cos^2(x))))
(1/(1/cos^2(x))) <-trigonometriska ettan
cos^2 (x)

därefter kan du utnyttja att cos^2(x) = 1/2(cos(2x)+1) , vilket man kan härleda ur additionsformeln för cosinus som lätt härleds geometriskt, och du får en enkel integral kvar.