Hjälp hitta extremvärde!

Hitta största värdet av en rektangel som ligger mellan kurvan y=e^(-x^2) och x-axeln.
Jag tror jag använder rätt metod men får det inte att stämma.

Bestämmer en funktion för rektangelns area: A=2x*e^(-x^2) <--- stämmer funktionen?

Deriverar sedan denna funktion m.h.a produktregeln samt kedjeregeln för e^(-x^2)

så A'=2*e^(-x^2) + 2x*(-1)*e^(-x^2)*(-2x) <--- stämmer derivatan av e^(-x^2)?

Bryter ut så A'=2*e^(-x^2)*(1+2x)

A'=0 då 2*e^(-x^2)*(1+2x)=0 men 2*e^(-x^2) är skilt från 0 så 1+2x måste vara lika med 0

1+2x=0 då x=-1/2

A(-1/2)=2*(-1/2)*e^(-(-1/2)^2) = -2*e^(-1/4)
<--- kan väl skrivas som -2/e^(1/4)?

Svaret skall vara sqrt(2/e) vad gör jag för fel?

Märkte att jag missat lägga ihop x:en när jag brutit ut ur A' <-- ska ju vara 2*e^(-x^2)*(1+2x^2

1+2x^2=0 leder till +/- sqrt(-1/2) <-- har jag gjort ett teckenfel eftersom det blir imaginärt?

1-2x^2=0 leder till +/- sqrt(1/2) --> A=2*sqrt(1/2)*e^(-sqrt(1/2)^2) <-- Kan det skrivas som sqrt(2/e)?

Ja då var den löst!

Ja, 2*sqrt(1/2)*e^(-sqrt(1/2)^2) = Roten ur (2/e).